添加輔助線 解題輕松又方便
——淺談有關三角形的解題中輔助線的作法

◎張秋菊 （山東省東營市經濟開發區東凱中學，山東 東營 257000）

平面幾何是初中數學的一大重點，對于中考數學而言，幾何同樣占據著舉足輕重的地位，學好幾何，對于中考數學的提分絕對是必不可少的一大助力.平面幾何囊括了無數的重點知識、難點知識、無數的中考考點……初中幾何這門課程，考驗的是對思維空間的抽象能力，要把幾何知識學懂，就要從具體的一些方法著手，找準輔助線，從輔助線的切入點進行，把之前毫無頭緒的題目逐漸明朗化、清晰化、便捷化.在幾何問題中，添加輔助線可以說是解題的關鍵.輔助線畫得好，解題輕松又快速；輔助線畫不對，可能就使解題繞彎又出錯，費力不討好.所以很大一部分試題都要根據題意或圖形作輔助線，這樣就能使一些無從下手的問題得到解決，或使一些較復雜的證法得到簡化.那么問題就有了，怎么才能快速適當地作出輔助線，正確簡便地解題呢？ 這就需要把握定理和概念，添加適當的輔助線，使之化難為易，便于解決.事實上，恰恰就是如何合理、恰當地添加輔助線難于把握，比較困難.對于初次接觸幾何的初中學生來說，更是難上加難.鑒于這種情況，本文舉例說明如何添加適當的輔助線，借助三角形的全等和三角形的性質來解決問題.

三角形問題是初中學生第一次接觸的比較復雜抽象的圖形問題，在完成解答題目的過程中，需要讀文字題目，看幾何圖形，在已知與未知之間找聯系，但是這個聯系有時候不是那么直接，方向不是那么明確，這個時候如果懂得如何作好輔助線，對于聯系已知與未知有很大的幫助，從而找到題目的解答方向，順利求解.根據圖形特點和所要證明的結果，本文為大家分享五種三角形中常用的輔助線作法，并且附有一個類似的例題，僅供參考.

一、遇到中點作中線法

如果題目中出現了等腰三角形底邊的中點，通常采用的方法是連接對應頂點和中點，構造中線，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質和三角形全等等知識點來完成問題的證明.通常情況下此類問題的難易程度屬于難.

例 1如圖 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝ 90°，點D為AB的中點，DE⊥DF分別交AC，BC于點E，F.求證：DE＝DF.

圖1

思路分析（1）題意分析：本題考查了等腰三角形“三線合一”的性質，三角形全等的判定定理和性質定理以及等腰直角三角形的隱含條件，即等腰直角三角形的銳角為45°等.

（2）解題思路：連接CD，利用等腰三角形“三線合一”性質以及等腰直角三角形的銳角是45°，完成證明△DEC≌△DFB的準備工作，然后利用三角形全等的性質得到DE＝DF.當然在此類問題中，也可以證明△AED≌△CFD，方法是完全一樣的.

二、遇中點連中點，構造三角形的中位線法

遇到幾何計算題時，經常會遇到三角形的某邊中點.此時，若能靈活地利用此中點，構造三角形的中位線，然后運用三角形中位線的性質或者全等三角形的性質，則能有效地抓住問題的核心，促使問題順利解決.通常情況下此類問題的難易程度屬于難.

例 2如圖 2，在△ABC中，∠B＝ 2∠C，AD是△ABC的高，點M是邊BC的中點.求證

思路分析（1）題意分析：本題考查三角形中位線定理，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊長的一半，三角形的外角和定理等知識點.

（2）解題思路：取AC的中點G，連接MG，DG，利用三角形中位線定理證得到

圖2

三、倍長中線法

如果題目中出現了三角形的中線，通常采用的方法是將三角形的中線延長一倍，得到的點再連接三角形另外兩個頂點中的任何一個，這樣就可構造全等三角形，證得對應邊相等，從而轉化成求全等三角形的對應邊之間的關系.當然，對于此種類型的問題，輔助線的添加也可以采用另一種方法，即過三角形的端點作對邊的平行線，要求題目中已知然后證明MG＝MD，從而得的中線不過此端點.對于此類型的問題，只是輔助線的添加有所不同，但是證明的過程和方法基本相似.通常情況下此類問題的難易程度屬于難.

例 3如圖 3，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，BD⊥BC于點B，∠ABD＝30°.求證：AB＝2BC.

圖3

思路分析（1）題意分析：本題考查三角形全等的判定和性質以及直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊長的一半.

（2）解題思路：關于此類題目所添加的輔助線，有兩種作法：其一，延長BD至G，使得DG＝DB，連接AG，利用全等三角形的判定定理證明△BCD≌△GAD，然后利用直角三角形的性質使問題解決；其二，過點A作AG∥BC交BD的延長線于點G，利用全等三角形的判定定理證明△ADG≌CDB，證明思路同第一種方法.大家需要注意的是，上述兩種方法只是在輔助線的添加上不同，證明思路是一樣的.當然，在作平行線的時候，也可以過點C作AB的平行線，同樣可以完成問題的證明.

四、截長補短法

如果題目中出現證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，通常采用的方法是在三角形較長的一邊上截取一條線段，使得它和要證明的結論中的一條線段相等，然后利用三角形全等或三角形的性質證明余下的線段長等于另一條線段長.通常情況下，此類問題的難易程度屬于較難.

例 4如圖 4，在△ABC中，AD，BE分別是∠BAC，∠ABC的平分線，AD與BE相交于點P，∠C＝ 60°.求證：AB＝AE＋BD.

圖4

思路分析（1）題意分析：本題考查三角形全等的判定和性質，以及三角形內角和定理等知識點.

（2）解題思路：要求證AB＝AE＋BD，只需在邊AB上截取AF＝AE，連接PF，證明△AFP≌△AEP，利用三角形全等的性質得到∠APF＝∠APE，然后利用三角形全等的判定定理證明△BPF≌△BPD，從而使證明得以完成.當然也可以在線段BA上截取BF＝BD，連接PF，同樣可以完成證明.

五、利用垂直平分線，構造等腰三角形

如果題目中出現了垂直平分線，經常把垂直平分線上的點和線段的端點連接起來，利用垂直平分線上的點和線段兩端點的距離相等來解答.這類題目一般不會單獨出現，而是與其他知識點綜合出題.通常情況下此類題目的難易程度屬于難.

例 5如圖 5，在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，點D是AB的中點，ED⊥AB交AC于點E.設∠A＝α，且求tan 2α的值.

圖5

思路分析（1）題意分析：本題考查在直角三角形中如何求某個角的正切值.

（2）解題思路：在初中階段，要求某角的正切值，只能在直角三角形中用定義求解，但是題目的已知條件中沒有2α這個角，所以首先要找到2α這個角.如何找呢？ 構造以 2α為銳角的直角三角形，因為點D是AB的中點且ED⊥AB交AC于點E，即ED是AB的垂直平分線，所以連接BE，得到等腰三角形ABE，且∠BEC是等腰三角形BEA頂角的外角，從而得出∠BEC＝ 2α，在 Rt△BEC中.首先在 Rt△ABC中，利用 tanα的定義求得然后利用勾股定理和△AED∽△ABC，求得從而等到在 Rt△BCE中即可求解.

例子不可能一一列舉出來，但是通過這些例題，大家可以看到，輔助線的作法不能無的放矢，盲目瞎猜.平面幾何證明題添加輔助線的問題，必須在下列基礎上，才能得到較好的解決，即：①熟悉定理和定義；②掌握許多基本圖形的處理方法；③掌握經常見到的一些題型的處理方法.只有這樣，才能在熟練掌握基礎知識的基礎上，靈活選用作輔助線的方法.通過這些例題，大家可以看到，添加輔助線雖無一定之規，但解題也可以因其類型相同而采取相同的方法.通過這些例題，大家還可以看到，對于每道題目來說，解題方法不唯一，要具體問題具體分析.通過這些例題，大家還可以看到，在解題的時候，一定要注意文字語言、圖形語言和數學符號語言的轉換.當然，熟練掌握輔助線的添加方法絕不是一朝一夕之功所能達到的，需要不斷地練習，不斷地總結，憑借經驗找出題目的規律，按照既定的規律添加輔助線.掌握好作輔助線的技巧，就不會出現面對本身不難的題目卻“山重水復疑無路”的千愁萬愁的情況，用對方法就“柳暗花明又一村”了，一巧解千愁.