基于逆向思維訓(xùn)練提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教學(xué)研究

◎許遙集 （福建省廈門市新店中學(xué)，福建 廈門 361102）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”“數(shù)學(xué)建模”“直觀想象”“數(shù)學(xué)運算”“數(shù)據(jù)分析”六個方面.推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程.在問題解決過程中，推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用.數(shù)學(xué)發(fā)散思維的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新能力和獨立思考能力.逆向思維是發(fā)散思維的一種重要形式，它是從已有的習(xí)慣思路的反方向去思考和分析問題，表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則等.逆向推理，即順推繁復(fù)時考慮逆求；反向證明，即直接解決較困難時考慮間接解決；從反方向形成新結(jié)論，即探討可能性或合理性存在邏輯困難時考慮新的可能性.逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性，是擺脫思維定式、突破舊有思想框架、產(chǎn)生新思想、發(fā)現(xiàn)新知識的重要思維方式.本文基于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，對重視逆向思維訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力及提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的若干方法進(jìn)行了歸納總結(jié).

一、重視逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維是相對正向思維而言的，它的思維方式往往是正向思維的逆轉(zhuǎn).在數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含著許多可逆性內(nèi)容，如數(shù)學(xué)對象的定義、數(shù)學(xué)運算、原定理與逆定理等.在絕大部分的數(shù)學(xué)課堂上，教師都要求學(xué)生掌握并學(xué)會應(yīng)用一些定義、定理、公式、法則等，但大多都是從左到右的正向運用，久而久之學(xué)生就會形成一種思維定式——用固定的思路和習(xí)慣去考慮問題和解決問題，這對思維靈活性的培養(yǎng)很不利.為了讓學(xué)生逐步具備超脫出習(xí)慣處理方法界限的能力，訓(xùn)練思維的靈活性，教師在教學(xué)中應(yīng)有意識地在強(qiáng)化正向思維的同時注意逆向思維的訓(xùn)練.

1.注意闡述定義的可逆性

被定義的概念和下定義的概念，其外延完全相等，因而兩者的位置可以互換.由此可見，所有的定義都具有可逆性.也就是說，每個定義都可以從正、反兩面來加深學(xué)生對其的理解.下面我們以例1 為例來說明此問題.

例 1已知關(guān)于x的方程 3x＋a＝4 的解是x＝2，求a的值.

（1）正向思維解法

解解方程得解得a＝－2.

（2）逆向思維解法

解∵x＝2 是所給方程的解，代入原方程得3×2＋a＝4，解得a＝－2.

點評對比逆向思維和正向思維兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)逆向思維的解法比正向思維的解法更簡捷靈活.

總結(jié)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)有意識地強(qiáng)調(diào)定義的可逆性，這樣才能全面、深刻地領(lǐng)會定義，從而靈活地運用定義來解決數(shù)學(xué)問題.

2.注意公式、法則的逆用

數(shù)學(xué)教材中存在著大量的公式、法則，如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方等互為逆運算，整式的乘法公式與多項式的因式分解公式是互逆公式等.對于學(xué)生來說，他們能比較熟練地從左到右運用公式、法則，但不善于從右到左運用公式、法則.因此，在教學(xué)中，對于數(shù)學(xué)公式、法則，教師在講解其正向應(yīng)用的同時，要注意探索它的逆向應(yīng)用.顯然，公式、法則的逆用將大大豐富它的內(nèi)容，擴(kuò)大它的使用“價值”.

下面以例2 和例3 中兩個公式逆用的例子進(jìn)行說明.

例 2求 cos 20°·cos 40°·cos 80°的值.

點評此題是三角函數(shù)求值中的一道常見題目，常規(guī)思路是用積化和差公式解決.但我們注意到，各余弦角度間存在著特殊關(guān)系，逆用倍角公式 sin 2α＝ 2sinαcosα之后，問題就能迎刃而解.

點評對于分式通分法則我們既要會正用，又要會逆用.本題若采用正向思路，則難以解決.學(xué)生往往只會把而不會把本題的求解過程逆用了分式通分法則，因而比較順利地求出了結(jié)果.

總結(jié)公式、法則的應(yīng)用應(yīng)講究一個“活”字.在很多數(shù)學(xué)問題的解答中，教師除了引導(dǎo)學(xué)生的正向思維，正用公式、法則外，還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生逆用公式、法則，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性與靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

3.注意數(shù)式逆向變形的應(yīng)用

數(shù)式的變形在數(shù)學(xué)運算過程中發(fā)揮著很重要的作用.我們既要會用數(shù)式的正向變形，又要會用數(shù)式的逆向變形.例4 就是數(shù)式逆向變形運用很好的例子.

點評本題若采用正向變形，即直接通分，則非常煩瑣.這里要注意：數(shù)“1”有很多逆向變形.若把“1”靈活地看成等形式，問題便能迎刃而解.

總結(jié)在數(shù)學(xué)問題的解決中，若能靈活應(yīng)用數(shù)“0”“1”等的多種逆向變形，則能立竿見影地解決較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

4.注意闡述原定理與逆定理的可逆性

數(shù)學(xué)教材中有大量可逆性的原定理與逆定理，如平面幾何中等腰三角形的性質(zhì)定理與等腰三角形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)定理與平行四邊形的判定定理等.應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是：要注意闡述原定理與逆定理的可逆性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

由于教材中有關(guān)原定理與逆定理的分析較多，限于篇幅，本文將不再舉例說明.

二、執(zhí)果索因，培養(yǎng)逆向思維能力

執(zhí)果索因是分析思維中的一種思維方式，它是從結(jié)果（或結(jié)論）出發(fā)追溯其產(chǎn)生的原因的思維方法，其思維過程的主干可表示為：B?An?An－1?An－2?…?A，其中B是命題的結(jié)論（結(jié)果），A是命題的條件.分析法側(cè)重于探索性和發(fā)現(xiàn)性.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要注意綜合法的應(yīng)用，又要注意分析法的應(yīng)用，使學(xué)生的思維更加深刻并具有創(chuàng)造性.教師可以通過執(zhí)果索因的思維方法，提高學(xué)生的分析能力，很好地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

例5將函數(shù)y1＝f（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，再將圖像向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖像.求y＝f（x）的表達(dá)式.

解設(shè)函數(shù)y1＝f（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍后得到函數(shù)y3＝q（x）的圖像.

∵ 函數(shù)y1＝f（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)拉長2 倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，

點評按常規(guī)思路分析：已知y1＝f（x） 變換到直接求函數(shù)y＝f（x）學(xué)生往往會感到無從1下手.反過來，若能逆向思考，執(zhí)果索因，則可較快地找出解題途徑.函數(shù)的圖像是由函數(shù)y＝f（x）經(jīng)過1兩次變形得到的，所以只要把向右平移個單位長度，得到函數(shù)即y＝3再把函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的即可得到函數(shù)y＝f（x）的圖像，所1以函數(shù)

總結(jié)采用執(zhí)果索因的思維方法，在解決某些按常規(guī)思路、運用正向思維較難下手的問題時，優(yōu)越性顯而易見.執(zhí)果索因的思維方法也是我們提高逆向思維能力與分析能力所需要的.

三、創(chuàng)設(shè)問題情境，提升數(shù)學(xué)思維

在解決數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生往往會遇到從正面入手較煩瑣或較困難的情況，甚至出現(xiàn)一些邏輯上的困境.此時可從辯證思維的觀點出發(fā)，克服思維定式的消極面，從問題的反面進(jìn)行思考，創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，嘗試從反面提出假設(shè)，通過逆向思維來論證，即采用反證法來論證.這樣的訓(xùn)練有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

例6求證：關(guān)于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2＝0 和中，不管m取何實數(shù)，必有一個或一個以上的方程有實數(shù)根.

證明假設(shè)若不管m取何實數(shù)，一元二次方程x2＋都沒有實數(shù)根，則可得關(guān)于m的不等式組

∴原不等式組無解，在實數(shù)范圍內(nèi)不存在這樣的m，這與已知矛盾，∴假設(shè)不成立.

∴ 不管m取何實數(shù)，一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2＝中必有一個或一個以上的方程有實數(shù)根.

點評本題若從正面入手進(jìn)行證明，則證明過程比較煩瑣.若能從結(jié)論的反面來考慮，采用反證法，假設(shè)不管m取何實數(shù)，兩個方程都沒有實數(shù)根，則不難得出所要求證的結(jié)論.

總結(jié)當(dāng)從正面入手直接證明較煩瑣或較困難時，我們可以反向考慮，有時問題便能迎刃而解.通過創(chuàng)設(shè)問題情境，采用反證思想，可很好地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生思維的發(fā)散能力，進(jìn)一步提高其解題能力.

總之，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)注重共性、通法的教學(xué)，致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在重視正向思維的同時要注重逆向思維的培養(yǎng).逆向思維作為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的一個組成部分，必須引起廣大數(shù)學(xué)教師的重視.