淺談數學歸納法在中學數學中的應用

◎李英爽 郭 微 （北華大學數學統計學院，吉林 吉林 132013）

數學歸納法表面看著很簡單，形式固定，但是很多學生難以理解其本質.有的同學在使用數學歸納法時完全靠生硬的記憶，不能掌握其真正的思想.那么，應該怎樣理解數學歸納法的主要思想，解決問題時數學歸納法分哪幾步，在中學數學中它都有哪些應用？ 本文就是在理解數學歸納法的概念，了解數學歸納法解題步驟的基礎上，論述數學歸納法在中學數學中的主要應用，幫助學生使用數學歸納法證明一些復雜的命題.

一、數學歸納法的概念

數學歸納法是一種數學證明方法，主要用于證明某個命題在自然數范圍內成立.在自然數之外的一些數學定理的證明也可以使用數學歸納法.數學歸納法在中學數學中是一種比較嚴謹的推理方法，主要用來解決與整數相關的數學問題，如證明一些等式和公式成立.

二、數學歸納法的步驟

數學歸納法在應用時分兩步進行：

第一步，證明命題在常數的情況下成立.從數學的角度看，命題在常數的情況下成立，那么命題在特殊的情況下也成立，這是證明命題成立的基礎，是最基本的步驟，在實際解決問題中，通常用“1”作為證明命題的起點.

第二步，證明命題在任意常數下都成立.在實際解決問題中，我們通常采用未知數k來代表一般情況.在n＝k的情況下命題成立，然后推導出n＝k＋1 的時候命題也成立.這是證明命題成立關鍵的一步，同時它也代表著所要證明的結論具有普遍性.在歸納分析的時候，要將特殊的情況推廣到一般的情況才能證明命題的正確.

總的來說，數學歸納法的基本思路就是通過歸納總結來證明命題的成立.數學歸納法的第一步是很容易進行驗證的，就是證明命題在特殊情況下成立.但歸納法的第二步是有點難度的，也是最核心的步驟.利用數學歸納法證明命題時，只有在這兩步同時成立的情況下，才能證明命題正確.下面我們來探討一下數學歸納法在中學數學中比較常見的應用，加深學生對數學歸納法的理解.

三、數學歸納法的應用

數學歸納法可以解決很多類型的問題.下面主要介紹數學歸納法在恒等式和不等式證明中的應用，以及在數列、幾何問題、整除性問題中的應用.

（一）數學歸納法在恒等式證明中的應用

利用數學歸納法進行恒等式證明時，整個過程只需做到等式兩側的數值相等.

例 1證明：n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝ （2n－1）2（n∈N?）.

證明當n＝ 1 時，左邊 ＝ 1 ＝ （2×1－1）2＝ 右邊，等式成立.

假設當n＝k時，等式同樣成立，即

則當n＝k＋1 時，有

也就是說，當n＝k＋1 時等式成立，所以等式對于任意一個正整數n都滿足.

（二）數學歸納法在不等式證明中的應用

應用數學歸納法解決不等式的證明問題時，可以對不等式兩邊的形式觀察分析，特別是不等式左邊的形式，然后再找出當n＝k和n＝k＋1 時左式的差異，弄清這些是解決這類問題的關鍵.

例2證明

證明當n＝1 時，不等式顯然成立.

假設當n＝k(k≥1，k∈N?)時，不等式同樣成立，即

則當n＝k＋1 時，

即n＝k＋1 時，不等式成立.

所以不等式對于任意一個正整數n都成立.

（三）數學歸納法在數列中的應用

有時應用數學歸納法解決數列的有關問題時，相對于其他方法思路可能要更通暢一些.

例 3設數列｛an｝的前n項和為Sn.已知求：（1）a2的值；（2）數列｛an｝的通項公式，并用數學歸納法加以證明；（3）求數列｛an｝的前n項和Sn.

解（1）將n＝1 代入得a2＝4.

下面用數學歸納法進行證明：

1）當n＝1 時，a1＝12＝1，命題成立.

2）假設當n＝k（k∈N?）時命題成立，即ak＝k2成立，則當n＝k＋1 時，有

即當n＝k＋1 時命題也成立.

綜上可知，an＝n2對于任何n∈N?都成立.

（3）由（2）知an＝n2（n∈N?），則an＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1，

（四）數學歸納法在幾何問題中的應用

數學歸納法不僅適用于平面的幾何問題，也適用于部分立體幾何問題.下面舉例說明數學歸納法在幾何問題中的應用.

例4設多個圓心在同一條直線且兩兩相交的半圓，試求：這些半圓的交點最多將半圓分割成多少個圓弧？

解設半圓個數為n，最多分割圓弧的個數為函數f（n），如圖 1 所示，可知當n＝2 時，f（n）＝f（2）＝ 4＝22.

當n＝3 時，為了讓三個半圓相交得到的圓弧最多，就應該讓第三個半圓和前兩個半圓都相交，如圖2 所示，可得f（3）＝ 9＝32.同理可知，當n＝ 4 時，f（4）＝ 16 ＝ 42.因此猜想有n個半圓時，最多可以將半圓分割成f（n）＝n2個圓弧.

圖1

圖2

用數學歸納法進行證明：當n＝2 時命題成立.假設當n＝k時命題成立，即f（k）＝k2.也就是說，當直線一邊有k個兩兩相交的半圓時，最多可以分割成k2個圓弧.

當n＝k＋1 時，求第k＋1 個半圓與之前的k個半圓都相交時可以得到最多的圓弧.

此時，原來前k的半圓都被第k＋1 個半圓割出了一條新圓弧，有k條圓弧，第k＋1 個半圓都被原來所有的半圓分割成了k＋1 個圓弧，因此f（k＋1）＝k2＋k＋k＋1 ＝（k＋1）2，故當n＝k＋1 時命題成立.即當有n個半圓時，可以將半圓最多分成f（n）＝n2個圓弧.

（五）數學歸納法在整除性問題中的應用

利用數學歸納法解決整除性問題，首先需要知道一些整除性方面的知識，即如果a能被c整除，那么a的倍數na也能被c整除；如果a，b都能被c整除，那么它們的和或差a±b也能被c整除.

例 5證明：f（n）＝ （3n＋1）·7n－1（n∈N?）能被 9 整除.

證明當n＝1 時，f（1）＝ （3＋1）·7－1 ＝27，27 顯然能被9 整除，故命題成立.

假設當n＝k時，原命題成立，即f（k）＝ （3k＋1）·7k－1能被9 整除，則

故f（k＋1）＝f（k）＋9·（2k＋3）·7k能被 9 整除.

綜上可知，對于一切n∈N?原命題都恒成立.

結束語

數學歸納法是中學數學中比較重要的學習內容，是證明命題成立的重要方法之一，它的核心就是遞推思想，它可以很好地彌補不完全歸納法的不足，在多個教學環節得到了廣泛應用.