關于矩陣乘積秩的一種簡捷證明

◎孔妮娜 （北方民族大學數學與信息科學學院，寧夏 銀川 750021）

一、基本概念及定理

已知矩陣

如果把矩陣A的每一行看成一個向量，則

稱為矩陣A的行向量組.

如果把矩陣A的每一列看成一個向量，則

稱為矩陣A的列向量組.

定義［1］矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩，且矩陣A的行秩與列秩相等，統稱為矩陣A的秩.

參考文獻［1］中給出的關于矩陣乘積秩的定理如下：

定理［1］設A是數域P上s×n矩陣，B是數域P上n×m矩陣，于是

即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.

二、主要結果

本文用一種簡捷的方法證明了矩陣乘積秩定理，并舉例說明定理的結論成立.

定理的證明要證明式（1）成立，只需要證明秩（AB）≤秩（A），同時秩（AB）≤秩（B）.下面分別證明這兩個不等式.

（1）首先證明秩（AB）≤秩（B）.

已知

設β1，β2，…，βn表示矩陣B的行向量組，則

則矩陣C的第i行元素分別為

令γ1，γ2，…，γs表示矩陣C的行向量組，則

把式（4）帶入式（5），得

即矩陣C的行向量組γ1，γ2，…，γs可以由矩陣B的行向量組β1，β2，…，βn線性表出，所以

（2）其次證明秩（AB）≤秩（A）.

令α1，α2，…，αn表示矩陣A的列向量組，則

由式（2）和式（3）可知，矩陣C的第j列元素分別為

如果令μ1，μ2，…，μm表示矩陣C的列向量組，則

把式（6）帶入式（7），得

即矩陣C的列向量組μ1，μ2，…，μm可以由矩陣A的列向量組α1，α2，…，αn線性表出，所以

綜上所述，結論成立.

例已知矩陣

下面利用矩陣的初等行變換分別計算矩陣A、B及AB的秩：