基于差值定理的相位差變化率提取方法

劉文躍， 彭世蕤， 王廣學， 張逸楠

(空軍預警學院， 湖北武漢 430019)

0 引言

基于相位差變化率的單站無源定位技術，利用空中觀測平臺上干涉儀測量目標輻射源到達信號的相位差，得到方位角變化率，結合目標的方位角，就可以計算出目標的位置(坐標)[1]。當觀測平臺為小型無人機時，大氣湍流易使載機發生飛行姿態擾動[2]，導致載機上的干涉儀基線矢量指向發生變化，對測量得到的相位差以及相位差變化率數據產生影響，針對這種情況，通常利用無人機導航數據中的姿態角數據對姿態變化后測量得到的相位差及其變化率數據進行補償[3]，以保證較高的定位精度。

這種補償方法的前提是無人機在姿態變化時，得到的相位差變化率數據中需含有無人機姿態變化的信息。然而在實際應用中，相位差變化率既可以直接測量得到，也可以間接提取得到[4]，不同的提取方法會導致相位差變化率中的姿態信息豐富程度不同，從而姿態補償的效果也不同。經典的相位差變化率提取方法有差分法和卡爾曼濾波法[5]，本文首先給出了這兩種提取方法下的姿態補償效果和定位精度，然后針對本文提出的基于差值定理的相位差變化率提取方法進行了對比分析，結果表明本文方法具有更好的姿態補償效果和更高的定位精度。

1 單站無源定位姿態補償方法

圖1表示某時刻無人機定位態勢，圖中以地面某固定點為坐標原點建立固定坐標系Oxy，Ox軸指向正東，無擾動時默認無人機沿正東作勻速直線運動，出現風擾動時無人機將沿AB方向運動；A表示無人機位置，T表示目標位置，β表示目標方位角，θ表示偏航角，對于地面固定目標，當目標與載機距離較遠時，可以忽略飛行高度的影響，等效至二維平面。

圖1 某時刻定位態勢示意圖

無人機姿態可用歐拉角(偏航角、俯仰角和滾轉角)描述。由于二維平面不考慮俯仰角，并且干涉儀位于無人機機身軸上，無人機發生滾轉時不會對相位差及其變化率的測量產生影響，因此本文中無人機姿態只需考慮偏航角θ。根據空間關系，基于干涉儀得到的相位差及其變化率為[6]

(1)

式(1)變形為

(2)

無人機無姿態變化，即θ=0時有

(3)

將式(2)代入式(3)中，得

(4)

2 基于經典方法提取相位差變化率的定位精度分析

提取相位差變化率的經典方法通常有差分法和卡爾曼濾波法，以下分析兩種方法提取相位差變化率中姿態信息的保留情況，以及定位精度。

2.1 差分法提取相位差變化率

應用差分法提取相位差變化率數據的原理是利用(i-1)D～iD時刻內相位差數據的平均變化速度來近似iD時刻的相位差變化率[7]。即

(5)

式中，D表示差分運算時間間隔。用該方法提取相位差變化率較為簡單。

2.2 卡爾曼濾波法提取相位差變化率

利用卡爾曼濾波法直接提取相位差變化率數據的基本思想是，一方面對輸入的已解模糊相位差數據進行平滑，降低測量噪聲，另一方面實時給出相位差變化率數據的濾波值[8]。由于該方法較為經典，濾波原理本文不作贅述。

2.3 兩種方法的定位精度分析

下面通過仿真實驗分析差分法和卡爾曼濾波法提取相位差變化率時的效果。

無人機基本仿真參數設置：如圖1所示，無人機平行大地平面作勻速直線運動，飛行速度為150 m/s，無人機初始位置為(0,0)。另外在無人機運動學模型中引入傳感器自身帶來的測量誤差，設為在橫、縱向速度分量誤差滿足均值為0，方差為0.5 m/s的高斯分布。

無人機姿態擾動仿真設置：無人機姿態擾動一般是風擾動造成的，為了令仿真結果更貼合實際，本文引用Dryden大氣紊流模型[9]模擬風擾動，近似認為風擾動對無人機姿態影響是線性的，即無人機在風擾動下的姿態角數據也服從Dryden模型，并根據實際情況設置姿態角變化最大不超過3°。模擬得到的姿態角數據片段如圖3所示，圖中橫軸表示時間，縱軸表示偏航角大小。可以看出，模擬得到的偏航角數據既具有隨機性又不失前后時刻相關性，更加貼合實際。

圖3 無人機偏航角模擬片段

定位模型基本仿真參數如下：地面固定雷達目標工作頻率fT=3 GHz，目標位置處于(100,50)km，目標雷達脈沖重復頻率設置為500 Hz，即定位點采樣間隔為2 ms，導航數據更新頻率設置為20 Hz，干涉儀基線OA長度為1 m。

差分法參數設置：令D=20 ms為差分時間片間隔進行差分運算。

卡爾曼濾波法參數設置：實現卡爾曼濾波公式的遞推過程，首先需要相位差數據初值U0和相位差數據的均方誤差初值C0，并且初值的選取會影響卡爾曼濾波的收斂時間、預測精度等性能[10]。U0的確定采用隨機選取一段相位差樣本進行事先觀測并取均值的方法確定，通過這種方法計算得到的一組初值為U0=50 rad；由于C0是誤差初值，在沒有誤差經驗值的情況下，一般認為U0的選取不存在誤差，因此令C0=0。

仿真結果如圖4所示。

圖4 兩種提取方法的提前效果對比

可以看出，利用差分法提取得到的相位差變化率抖動明顯，可以認為該方法能較好保留相位差變化率中的姿態信息；利用卡爾曼濾波法提取得到的相位差變化率在收斂后趨于平滑，即將無人機姿態抖動帶來的影響視為噪聲進行了濾波降噪處理，從而導致了相位差變化率中的姿態信息受到了較為嚴重的破壞。

為量化仿真結果，定義定位誤差和平均定位相對誤差如下：

(6)

(7)

式中：xT，yT為目標真實位置的橫、縱坐標；x′T，y′T為計算得到的橫、縱坐標；ri為i時刻目標與無人機間的徑向距離；t為無人機執行定位任務總時長。

當D、U0取不同值時，兩種方法提取相位差變化率時的定位誤差如表1所示。

表1 不同條件下兩種方法定位誤差對比

從表1可以看出，D越小，定位誤差越小，定位精度就越高。這是因為提取相位差變化率的過程實際上就是數值微分的過程，若期望提取出的相位差變化率中含有較為完整的姿態信息，則需要讓數值微分的求解盡可能準確，顯然當差分法中的D趨于無窮小時，數值微分的求解是趨于準確的，但是受目標雷達脈沖重復頻率fPRF的限制，D最小只能取到1/fPRF；此外差分法的前提是認為在差分時間片間隔中，相位差變化率的值是恒定的，即在相位差變化率呈現線性或近似線性變化時，差分法提取方法較好[11]。但是在無人機姿態擾動時，相位差變化顯然呈現非線性，因此無人機存在姿態擾動時，利用差分法提取相位差變化率存在一定的局限性。

從表1還可以看出，初值的選取對卡爾曼濾波的影響較大，并且經過計算得到的最佳初值為55 rad，并且初值的選取越靠近最佳初值，卡爾曼濾波的效果越好。但是卡爾曼濾波的平滑功能濾除了相位差變化率中本該含有的部分姿態信息，因此無論初值選取是否準確，在采用姿態補償時，定位誤差都非常大。

3 基于差值定理的相位差變化率提取方法

通過第2節的分析可知，要想令姿態補償達到較好的效果就必須盡可能多地保留相位差變化率中的姿態信息，從數學的角度來說即要求對相位差的數值微分盡可能準確，而差值定理的提出將微分算法的效果從“無限逼近”提高到“理論上相等”。因此本文采用差值定理提取相位差變化率。

差值定理的基本內容是：設函數F(t)和f(t)在某定義域Ω內任一點均存在n階導數，且G(t)=F(n-1)(t)-f(n-1)(t)，則F(n)(t0)=f(n)(t0)?G′(t0)=0。

文獻[11]中將差值定理的物理意義描述為：2個函數的n-1階導數的差值的駐點是它們的n階導數相等的點；2個函數差值曲線的駐點是它們的一階導數相等的點。因此，在假設測量數據和擬合數據均滿足處處可導的條件時，只需求出測量得到的相位差數據和擬合得到的相位差數據差的極值點，即可把擬合數據在極值點處的一階導數作為該點的相位差變化率提取值。那么該方法的核心在于對相位差數據的擬合以及差值數據極值的判別。

3.1 對相位差數據的擬合

對于數據擬合，本文采用基于三階多項式的最小二乘法濾波[12]進行擬合，即將相位差在不長的時間內的變化情況表示為

ti=-N,…,N

(8)

式中，φ′(ti)表示擬合得到的相位差，N表示濾波半徑，i表示第i次濾波。

再根據最小二乘濾波的基本原理估計出系數[ai,bi,ci,di]即可。在應用過程中，令濾波半徑不變，并以N為步長對相位差數據進行滑動濾波，將各步得到的相位差擬合數據拼接即完成了對相位差數據的擬合。

采用這種擬合方法最大的好處在于能夠寫出擬合數據的顯式函數表達式，并且對其求一階導數十分簡單，即

ti=-N,…,N

(9)

3.2 差值數據極值的判別

根據極大值和極小值的定義，第i點是極大值的充要條件：

(10)

第i點是極小值的充要條件：

(11)

式中，C(ti)=φ(ti)-φ′(ti)，即相位差的差值函數，S表示誤差限，即允許存在的最大測量誤差，在要求高精度測量時，一般取S=0。

理論上通過以上極值判別方法即可判別出極值點，再將極值點代入式(9)即可得到較為準確的相位差變化率數據。然而由于擬合曲線與原數據曲線不完全匹配以及濾波半徑的選取等原因，判別出的極值點數小于測量數據點數。令S=0，其他仿真條件不變時，改變濾波半徑N時，得到的極值點情況如表2所示。

表2 濾波半徑不同時的極值點求解情況

從表2可以看出，濾波半徑改變雖然會影響求解的極值點的點數，但是求解得到的極值點數總是小于測量數據的點數，從物理意義來說，這會導致得到的相位差變化率數據在時間上不連續，不利于進行姿態補償。

根據文獻[11]，可以采用系數調節法，使每個測量數據時刻點都成為駐點。即保持ai,di固定不變，令bi,ci滿足如下關系式：

(12)

根據式(12)能夠使相位差的擬合曲線與相位差測量曲線在極值點附近的曲率盡可能相等，即保證了解算出的極值點數等于測量數據點數，從而保證率求解出的相位差變化率的時間連續性。

3.3 相位差變化率提取流程

總結前文，基于差值定理的相位差變化率提取方法的步驟如圖5所示。

圖5 相位差變化率提取新方法流程圖

該方法的仿真參數設置為：擬合多項式階數選取三階，濾波半徑選取N=5，并假設測量得到的相位差數據在時間上連續。該方法的相位差變化率提取效果片段如圖6所示。

圖6 不同方法提取效果對比示意圖

從圖6可以看出，與差分法相比，差值定理提取法提取得到的相位差變化率更加貼近風擾動下相位差變化率的真實值，與風擾動下相位差變化率的真實值相比，D=1 ms時差分法提取時的相位差變化率均方誤差為0.084 rad/s，而差值定理提取時的誤差為0.032 rad/s，說明了該方法的有效性。經過計算后的定位相對誤差如表3所示。

表3 差值定理法定位誤差對比

從表3可以看出，與差分法相比，在無人機姿態補償時，利用差值定理法提取相位差變化率時的定位精度得到提高，定位誤差基本保持在2%以內。

從運算時間看，在文中仿真條件下，相位差數據點數為50 000時，差分法、卡爾曼濾波法和差值定理法所需的時間分別為0.19，2.45和3.91 s，而根據文中設置，接收50 000個相位差數據點需要100 s，顯然遠大于這三種方法的計算時間，說明3種方法均具備很高的實時性。而本文方法更具高定位精度的優點。

4 結束語

本文針對現有相位差變化率提取方法提取得到的相位差變化率數據中觀測平臺姿態信息較少，導致利用觀測平臺姿態數據進行無源定位姿態補償時精度較低的問題，提出了一種基于差值定理的相位差變化率提取方法，并對比分析了差分法、卡爾曼濾波法和本文方法提取相位差變化率時的姿態補償精度。研究表明，本文方法能夠提高單站無源定位的姿態補償精度，對觀測平臺發生姿態擾動時單站無源定位性能的提升具有指導意義。