大孔徑超稀疏陣列綜合算法研究與應用

張 燕，程先宬，陳伯孝，周志剛

(1. 上海無線電設備研究所， 上海 200090；2. 西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室， 陜西西安 710071)

0 引言

為適應未來戰爭的防御需求，雷達系統需要有效提升探測能力和參數估計性能。采用更大孔徑的均勻天線陣列可有效實現參數估計精度和覆蓋范圍的要求，然而，采用大孔徑均勻陣列會使得系統成本驟增且陣元間耦合加劇。超稀疏陣列在提升陣列孔徑的同時可大幅度減少陣元數目，有效地解決了系統成本和探測性能間的矛盾。

目前，針對稀疏陣列的研究主要分為兩大類：一類是具有固定構造結構的稀疏陣列，例如互質陣列、嵌套陣列、最小冗余陣[1-3]等。這類陣列通常具有固定的構造方式，利用其特定的結構可等效重構出同孔徑下均勻陣列對應的協方差矩陣進行參數估計，該類方法往往需要較大的快拍數，在雷達系統中往往無法滿足，主要應用于天文探測這類觀測時間長、快拍數多的應用場景。第二類是隨機陣列結構，即通過構造特定的約束準則[4]，優化求解滿足約束的最優陣列分布。該類方法在雷達中具有良好的應用前景和實際價值，本文主要針對稀疏陣列綜合的算法進行介紹討論。

針對大孔徑的稀疏陣列綜合問題主要分為兩種，一種是孔徑和陣元數目受限條件下的副瓣電平優化算法，另一種是副瓣電平和孔徑約束下的陣列最稀疏解問題。本文介紹的算法屬于后者。此類問題的研究由于屬于NP-hard問題，難以求得全局最優解，經典的算法往往采用智能優化算法[5-7]，類似遺傳算法、退火算法以及粒子群算法等進行隨機優化搜索。該類方法在孔徑較小時具有較高可行性，然而由于其運算量隨著陣列孔徑增大呈指數增長，因此在孔徑較大時時間成本過高，無法進行優化。采用國外學者Nai提出的凸優化方法[8]可有效降低運算復雜度，但是在孔徑較大時仍具有同樣的困境。

本文針對大孔徑稀疏陣列優化問題展開了研究，通過采用交替方向乘子[9]的優化思想進行快速初始化，并構建鄰域空間進行二次優化，從而快速得到更優的稀疏解。仿真實驗證明了算法的有效性。

1 算法原理

假設稀疏線陣孔徑為L，分布于區間[0,L]上的N個陣元對應的位置矢量記為x=[x1,…,xN]T，初始位置矢量由遠小于半波長的間隔d對區間[0,L]進行均勻采樣得出，各陣元對應的權值為w=[w1,…,wN]T,因此，此時陣列方向圖可表示為

(1)

為了后續推導方便，式(1)中的方向圖可用矩陣形式進行表示，即

F=Aw

(2)

式中，矩陣A中的元素為a(i,j)=ejκxjsin(θi)。

稀疏線陣最優稀疏解問題，即尋找滿足主副瓣電平要求的最小陣元數N。則在上述模型的基礎上，稀疏線陣稀疏化問題可建模如下：

s.t. |Aw|≤Mup

(3)

a0w=1

式中，||w||0表示w的l0范數，Mup為陣列方向圖上界約束條件，a0為方向圖主瓣方向所對應的導向矢量。

由于上式中的目標函數w的l0范數，為非凸優化問題，難以得到全局最優解。為了對式(4)中的問題進行求解，可采用l1范數進行如下近似：

s.t. |Awp|≤Mup

(4)

a0wp=1

其中，hp⊙wp為向量h和w的Hadamard積， ||q||1表示向量q的l1范數，上標p表示第p次迭代。每次迭代時的向量h由下式進行更新：

(5)

式中，ε為非常小的常量，可選為0.01。

通過式(4)和式(5)進行迭代求解，在小孔徑時可快速有效地獲得效果良好的可行解。然而，對于孔徑較大的情況而言，采用上式進行優化的運算量將大幅提升，優化效果急劇惡化甚至失效。

(6)

該問題可按照采用如下步驟進行優化：

對于式(6)至式(8)的優化過程采用的分為兩塊進行求解，但是理論上在單步優化可行的前提下可對大孔徑情況對應的搜索空間進行多次劃分。

2 計算機仿真

仿真一：陣列孔徑L=200λ的線陣綜合結果。其副瓣電平要求不高于-20 dB(|θ|≥0.28°)，主瓣指向0°，陣列初始間隔d=λ/10。優化得到的陣列方向圖和陣元位置及權值分布如圖1所示，其中圖1(b)為圖1(a)主瓣區域局部放大圖。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣列方向圖主瓣放大圖

(c) 陣元位置及權值分布圖1 陣列方向圖和陣元位置及權值分布

優化后陣元個數僅為129個，稀疏率為32.1%，且由圖1可以看出，副瓣電平符合預期約束條件，且波束無展寬。

仿真二：陣列孔徑L=400λ的線陣綜合結果。副瓣電平低于-18.7 dB(|θ|≥0.17°)，主瓣指向0°，陣列初始間隔d=λ/10。優化得到的陣列方向圖和陣元位置及權值分布如圖2所示，其中圖2(b)為圖2(a)主瓣區域局部放大圖。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣列方向圖主瓣放大圖

(c) 陣元位置和權值分布圖2 陣列方向圖和陣元位置及權值分布

優化后的陣元個數為153個，稀疏率僅為19.1%。且由圖2(b)可看出副瓣電平滿足約束條件。

仿真三：陣列孔徑L=500λ的線陣綜合結果。副瓣電平低于-20.4 dB(|θ|≥0.114°)，主瓣指向0°，陣列初始間隔d=λ/10。文獻[10]對該條件下的陣列進行了優化，其優化結果如圖3所示。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣元位置和權值分布圖3 陣列方向圖和陣元位置分布圖

而利用本算法優化后的結果如圖4所示，其中圖4(b)為圖4(a)主瓣區域局部放大圖。相較于文獻[10]，利用本文所提算法，陣元個數僅為188個，稀疏率為18.8%，且由主瓣區域放大圖可以看出并無主瓣展寬，副瓣電平也符合預期目標。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣列方向圖主瓣放大圖

(c) 陣元位置及權值分布圖圖4 陣列方向圖和陣元位置及權值分布

3 結束語

本文提出了一種針對大孔徑稀疏陣列綜合的算法。通過利用交替方向乘子的思想使其快速得到初始可行解，并構建相鄰域形成新的解空間進行搜索，從而求得更優的稀疏解。文中所提出的算法可有效地實現大孔徑下的稀疏陣列的綜合并得到相較傳統算法更優的布陣結果。通過對若干不同孔徑條件下的仿真實驗，證明了算法的有效性。