數學建模題與傳統數學應用題的聯系

楊昌紅　顏寶平

摘 要：數學建模題和傳統數學應用題都屬于數學應用問題的范疇，但兩者不論是從題目本身還是解題的思維過程都不能等同。然而，他們卻可以實現相互轉換。通過給數學建模題添加適當的參數、賦予數值即可轉換為傳統數學應用題。反之，傳統數學應用題通過隱藏參數、添加解釋即可得到一個開放的數學建模題。正由于兩者的不等同，使得在評價的側重點以及育人價值上也都有所不同。

關鍵詞：數學建模;數學建模題;傳統數學應用題

數學建模是當下我國數學教育界一個比較炙熱的話題。在上個世紀90年代數學建模開始進入我國，隨之北京、上海地區開始組織中學生數學應用競賽。自從2003年起，數學建模正式進入《普通高中數學課程標準（2003版）》。在《普通高中數學課程標準（2017版）》（以下簡稱《課標（2017）》）中，數學建模被列為六大核心素養之一，在教材中設置了6個課時的數學建模活動與數學探究活動[1]。引起了越來越多數學教師對數學建模的關注。在《課標（2017）》的推動下，數學建模活動在我國大部分地區紛紛實施起來。通過閱讀大量文獻，發現有很多中學數學教師對數學建模問題的認識存在嚴重的不足，他們中大多數人認為已經有了數學應用題，為什么還需要增加數學建模題呢？基本認為數學應用題就是數學建模問題，將二者混為一談[2-3]。事實上，數學建模題并不等同于傳統的數學應用題[4]。鑒于此，本文將研究數學建模問題與傳統數學應用題的聯系，以期為中學數學教師關于數學建模題的認識提供一點參考。

1.數學建模題與傳統數學應用題的概念

在數學中，傳統數學應用題是用語言或文字來敘述有關的實際問題，將數學知識應用于實際，以現實問題為情境反映某種數量關系，并求解未知數量的文字應用題。任何一道傳統數學應用題都由已知條件和所求問題兩個部分組成，它還具有以下特征：現實性、簡明性、基礎性、可轉換行、模型化[4]。數學建模是解決數學建模問題的過程。在《課標（2017）》中，數學建模將描述為對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題的素養;梁貫成、賴明治等人認為數學建模是一個過程，它應用數學對現實世界的現象進行表達、分析、預測或其他方式的深入研究[5]。鑒于以上的分析，筆者理解數學建模是現實情境與數學知識聯系的橋梁，它包含以下過程：確定要解決的問題，需要收集相關的信息;作出假設，需要選擇忽視或是保留哪些量;將初始問題轉化為數學表達，進行求解;得到結果，又需要將結果應用到現實的情景中，看是否符合現實;如果不能很好的反映現實問題，需要修改假設或模型，重新求解，這是一個不斷循環的過程。

2.數學建模題與傳統數學應用題的聯系

數學建模題和傳統數學應用題都屬于數學應用問題[4]。在傳統數學應用題中，通常給出的已知條件明確，答案唯一，現實語言轉化為數學語言的過程簡單明了，所得的結果很少需要考慮是否符合實際，更談不上說由于不符合實際情況需進一步反思、修改已有的模型。而在數學建模題中這些都是要突破的重點和難點。傳統數學應用題的解題過程比較特殊和簡單，無法揭示數學建模完整的過程。數學建模是連接現實問題和數學體系的重要媒介，通過運用數學理論和方法對實際問題分析研究，往往得到的結論它需要將結論迭代到實際問題中，它不同于傳統數學應用題僅僅是簡單的套用公式即可。數學建模中往往不存在套用公式、定理就能得到的結論。傳統應用題的答案是唯一的，在解題時只要適當的運用公式定理和充分的運用已知條件就能解出答案，而數學建模的答案卻不唯一，與傳統數學應用題相比沒有那樣多的已知條件，數學建模題的求解需要根據實際問題定義變量、作出假設，假設不同得到的模型也不同，所得模型還需帶到實際中檢驗看其與實際是否吻合，若與實際不吻合，則需要對參數、數據、模型中的一些部分進行修改，重新迭代，數學建模就是一個如此反復的過程以求找到更吻合實際的結論。因此，數學建模題不論是從題目本身還是解題的思維過程都不等同于傳統數學應用題。

下面將用兩個例子來展示傳統數學應用題和數學建模題以及他們的求解過程，例1是傳統數學應用題，例2是選自《數學建模教學與評估指南》中的數學建模題。

例1：李華家附近有一個加油站A，汽油的油價為7.65元/升，而在另一個距離他家8公里的加油站B，汽油的油價為7.35元/升。已知李華家的汽車每公里燒油0.48元，現需要加30升汽油，請問去哪個加油站加油比較劃算。

例2：思考一個實際的生活問題：

我們都知道的汽油的價格是極其不穩定的，在同一個城市同一時間段很多加油站油價可能都有所不同。有時油價便宜的加油站可能離我們有些距離，那么便宜的那一點油價是否值得我們開車前去？請建立數學模型來幫助我們分析什么條件下值得開車前去便宜的加油站加油。

（挖掘數據）首先，通過互聯網和調研收集資料，了解到附近的加油站A的油價為7.65元/升，又找到最便宜的加油站B，油價為7.35元/升。

（作出假設）接下來，為了合理，兩個加油站都加等量的汽油，然后，假設30升作為所加的汽油的量。

（數學求解）接著，有

在加油站A加油的花費為：7.65*30=229.5（元）

在加油站B加油的花費為：7.35*30=220.5（元）

在加油站B加油節省的費用：229.5-220.5=9（元）

因此，在便宜的加油站B加油可以省9元。

（迭代發現不能反映事實）這時，有人發現上面的解答忽略了兩個加油站之間的距離，得到的結論不合理，那么怎么來計算這段距離消耗的油？此時，需要找出兩個加油站之間的距離，以及考慮到車每公里燒油多少？

（需重新作出假設）當他們解決上面的小問題后，發現僅僅解決了問題中的一種特殊情況，油價、加油的量、加油站之間的距離、車型的油耗都是特定。這時，他們需要變量來代替數量。為了更加完善，需要反復的修改假設，又建立新的模型，進行求解迭代。

數學應用題與建模問題的轉換。正如上面兩個例子表明，一個傳統數學應用題是可以轉換為一個數學建模問題。例1中的距離、油耗、油價都是具體的，它只需要進行數學運算即可得出結果。然而，數學建模問題呈現為一種模糊的狀態，沒有明確的數據，所給條件不經過加工也不能用，例2沒有任何的已知條件，其實例1就是例2的具體化，是一種特殊情況，而例2就是例1的一般化。從一般到具體就是將數學建模題添加參數、給出數據就轉換為傳統數學應用題，從具體到一般就是將傳統數學應用題的參數隱藏、添加解釋即可得到一個數學建模題，一個好的建模問題必須足夠的開放，給學生充足的空間讓他們在解決的過程作出自己的抉擇。

3.數學建模題與傳統數學應用題的評價

傳統數學應用題通常是有唯一的正確答案，在進行評判時，更多地是看學生的作答是否正確，學生在作答的過程中，對數學的批判性思維要求不高，按照題目要求求解，并規范作答就可以得到滿分。然而，數學建模與數學應用題的評價較為不同。數學建模沒有標準的答案，數學建模往往呈現的結果沒有最好，只有通過不斷地修改完善模型使結果變得更好。在這過程中，學生既要不斷的反思，需要具有高度的批判精神。因為，數學建模往往是一個過程，不是像傳統數學應用題簡單套用公式能夠解決問題，它需要反復修改假設、模型，進而求解、迭代、完善模型，最終能夠反映實際問題中的事實。當數學教師對學生進行數學建模評價時，不能只關注最終的結果，應該是更注重學習的過程。觀察學生在建模過程中解決什么問題，給出的數學模型是否能反映實際，幫助學生修改數學模型，使其得到更好的結果。或許在修改的過程中，數學教師自己對學生給出的模型不是很了解，這時數學教師要調整自己的角色，與學生一起去查找相關的資料、共同解決，幫助學生得到一個更完善的數學模型、一個更符合實際的結論，相信這樣做一定比直接給學生一個分數更有意義。

4.數學建模題與傳統數學應用題的育人價值

傳統數學應用題的目的是為培養學生的應用意識，多在檢測學生數學基礎知識的掌握。而數學建模在此基礎上更多強調提出問題、分析問題、解決問題的意識。傳統數學應用題不同于純粹的數學題，它是具有一些人文、思想的教育價值，它可以讓學生感受數學來自于生活，又應用于生活，可適當的培養學生的理解能力、語言轉換能力、實踐應用能力等。然而，數學建模是一種獨立而又綜合的素養，錯綜復雜的建模過程可以培養學生各個方面的素養。從知識技能層面來說，它將數學知識各部分的內容聯系起來，在建模的過程中往往既需數學與代數的知識，又需要圖形與幾何和概率與統計的知識。同時，解決一個數學建模題除了數學學科以外還涉及其他多個學科，這樣一來可以促進學生跨學科的思維的發展。所以，數學建模既可以說明各科課程的相關性，又拓寬了學生的視角，這是數學應用題無法給予的。從情感態度層面來說，數學建模題是開放性的可以更好的培養學生的創造力，在解決數學建模問題的過程中學生可以體驗到數學的真正價值;數學建模往往強調團隊合作，很好地培養他們團隊協作精神，而在這個過程學生需要不斷與隊友以及其他團隊的溝通交流，可促進他們的交流表達能力的提升。再者，數學建模教育不是精英教育，而是大眾教育。有研究表明學生的數學成績是對數學建模的能力有所影響但不存在正相關性，數學建模可以讓數學成績差的學生增加學習數學的興趣。因此，數學建模題可以提升學生多方面的能力，從而有效的提升學生綜合素養。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]張思明.理解數學——中學數學建模課程的實踐案例與探索[M].福建：福建教育出版社，2012.

[3]黃思晗.高中教師與學生對數學建模素養的認知差異研究——以重慶地區為例[D].重慶師范大學，2018.

[4]李明振.數學建模認知研究[M].南京：江蘇教育出版社2013.

[5]梁貫成，賴治明，喬中華，陳艷萍編譯.數學建模教學與評估指南[M].上海：上海大學出版社，2017.

作者簡介

楊昌紅（1996-），女，貴州麻江人，吉首大學，在讀研究生，研究方向：數學教育。

顏寶平（1970-），男，云南文山人，銅仁學院大數據學院，碩士、教授，主要從事數學教育及倒向隨機微分方程研究。

[基金項目]高中數學建模教學現狀調查與策略研究——以銅仁地區為例（Jdy19008）