遺傳題中條件概率計算的“舍”與“不舍”

馬春花

摘 要：遺傳計算歷來是高考中的高頻考點，而條件概率又是教學和考試中的難點和爭議點，師生常常在“舍”與“不舍”中糾結。本文題為引，用數學思想來對條件概率的計算進行正解，并對常規思路的錯誤點進行分析，總結遺傳計算中的“舍”與“不舍”的條件。

關鍵詞：條件概率;遺傳;計算

遺傳計算歷來是高考中的高頻考點，一些調研試卷中也經常出現這類考題。在一般的遺傳題中，學生只要能正確推斷出親本的基因型和概率，并掌握了遺傳的基本規律和基本方法，往往都能得分。但是對一類條件概率的計算，絕大多數的師生往往以偏概全，缺少思維上的縝密性而很容易被“誤解”：要么認為答案錯了，要么認為試題有問題。那么這類試題常見的問題究竟出在哪里呢？該如何解呢？現以題為引，對此類題目進行析疑。

一、經典例題和試題分析

1.1試題及答案

（2017年江蘇卷第32題節選條件概率計算部分）人類某遺傳病受一對基因（T、t）控制。3個復等位基因IA、IB、i控制ABO血型，位于另一對染色體上。A血型的基因型有IAIA、IAi，B血型的基因型有IBIB、IBi，AB血型的基因型為IAIB，O血型的基因型為ii。兩個家系成員的性狀表現如下圖所示，Ⅱ9和Ⅱ11均為AB血型，Ⅱ10和Ⅱ12均為O血型。請回答下列問題：

（1）Ⅱ8基因型為Tt的概率為________。

（2）Ⅲ13為Tt且表現A血型的概率為________。

（3）若Ⅲ13與Ⅲ14生育一個正常女孩為B血型，則攜帶致病基因的概率為_______。

答案： （1）2/3 （2）3/10 （3）13/27

1.2試題分析

1.2.1試題命題分析

本題主要考查人類遺傳病的相關知識，要求學生正確應用基因的分離定律和自由組合定律解答人類遺傳病的相關問題。原題中六個關于遺傳概率計算的問題中有三個涉及條件概率的計算，且這三個條件概率計算層層深入，上一題答案為下一題服務。因此，要求學生對條件概率計算方法理解精準方可得全分，難度較大。

1.2.2試題答案解析（僅述第2小題）

學生通常能理解“Ⅱ8基因型為Tt的概率為2/3”，而對“Ⅲ13為Tt且表現A血型的概率為3/10”存在爭議，甚至教師也表示疑惑。

思路一（大多數師生）：根據基因型推斷，Ⅲ13為A型血的概率為1/2。Ⅱ9正常（T_）為1/3TT、2/3Tt，Ⅱ10正常為Tt。Ⅱ9與Ⅱ10婚配所生Ⅲ13為正常人，則就該遺傳病而言所生正常人中TT=1/3*1/2+2/3*1/3=7/18，Tt=1/3*1/2+2/3*2/3=11/18。因此，Ⅲ13為Tt且表現A血型的概率為11/18*1/2=11/36。本解題思路是在計算2/3Tt與Tt婚配時將后代中不符合表現型的tt舍去，只計算正常人中的Tt的出現概率。

思路二：根據基因型推斷，Ⅲ13為A型血的概率為1/2。Ⅱ9正常（T_）為1/3TT、2/3Tt，Ⅱ10正常為Tt。Ⅱ9與Ⅱ10婚配所生后代中就該遺傳病而言，子代基因型有TT、Tt和tt三種。TT的概率為1/3*1/2+2/3*1/4=1/3，Tt的概率為1/3*1/2+2/3*2/4=1/2，tt的概率為2/3*1/4=1/6，即正常人在子代中占5/6。Ⅲ13為正常人，其為Tt的概率為（1/2）/（5/6）=3/5.因此Ⅲ13為Tt且表現A血型的概率為3/5*1/2=3/10。

正確答案是3/10。那么思路一錯在哪里呢？為什么還要將tt個體列入范圍之內而不能舍去呢？筆者將從數學的角度正解遺傳題中的條件概率的計算。

二、條件概率的計算

2.1數學思想中的條件概率

例：兩次拋擲硬幣的基本事件構成集合S={正正，正反，反正，反反}，其中兩次都是正面向上的事件記為A，即A={正正}，故P（A）=1/4。

兩次拋擲硬幣，其中至少一次正面向上的事件記為B，即B={正正，正反，反正}，那么在B發生的條件下，A發生的概率為1/3。

這說明，在事件B發生的條件下，事件A發生的概率產生了變化。一般地，對于兩個事件A和B，在已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為事件B發生條件下事件A的條件概率，記為P（A∣B）。

在本實例中P（A∣B）就表示“已知兩次拋擲硬幣實驗中有一次正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率”。

當AB兩事件互斥時，在上述問題中，P（B）=3/4，P（AB）=1/4，P（A∣B）=1/3。不難發現：P（A∣B）=1/3=（1/4）/（3/4）

因此可以得到條件概率的計算公式：P（A∣B）=P（AB）/P（B）

注：P（AB）表示AB兩事件同時發生P（B）>0[1]

2.2第2題中的條件概率計算

根據數學中的條件概率的定義可以看出，例題中求Ⅲ13為Tt且表現A血型的概率即要求計算的是“在Ⅲ13為正常人的條件下，基因型為Tt且為A型血的概率”。因此，就遺傳病而言，先要計算出在所有子代中Ⅲ13為正常人的概率為5/6，再計算出Ⅲ13為Tt的概率為1/2，最后算正常人中的Tt概率為（1/2）/（5/6）=3/5。

三、用數學思想正解遺傳題中條件概率計算的“舍”與“不舍”

3.1用數學思想正解第1小題

常規思路：根據遺傳規律推斷出Ⅰ1和Ⅰ2均為雜合子，所生Ⅱ8為正常人（T_），將后代中tt舍去，因此，Tt占的概率為2/3。

數學思路：根據遺傳規律推斷出Ⅰ1和Ⅰ2均為雜合子。本題要求計算出“Ⅱ8是正常人的條件下，為雜合子的概率”。根據條件概率的計算方法可知，在Tt和Tt婚配的后代中，是正常人的概率為3/4，是Tt的概率為1/2.因此“在正常的條件下，Ⅱ8為Tt”的概率為（1/2）/（3/4）=2/3。

3.2條件概率計算的“舍”與“不舍”

為什么第1小題中用舍去的方法計算結果和正解結果不同，而第2小題中的用舍去的方法計算結果和正解結果相同呢？原因是舍去的個體在樣本中的范圍不同。

就遺傳病而言，第2小題中Ⅱ9有1/3TT、2/3Tt兩種基因型，與Ⅱ10婚配時分兩種情況討論，所生后代如圖1所示。

根據條件概率計算公式可知，P（AB）與P（B）的概率計算應在所有事件集合中計算，即計算全部后代中的概率。由圖1可知，如果刪去tt個體解題，會使2/3Tt這種基因型的婚配后代樣本縮小，導致Tt的占比偏高（Aa由1/2變為1/3），而1/3TT基因型的婚配后代中沒有發生變化，這樣導致了整體后代中求得的Tt概率高于正常解題。

而在第1小題中，由于Ⅰ1和Ⅰ2均確定為Tt，子代TT、Tt、tt只來自于一種婚配方式，如圖2所示。

如果刪除患病個體，即在計算P（AB）與P（B）的概率時樣本同步縮小，最后的兩者比例就沒有發生變化。

從第1小題的兩種解題思路的結果上看，雖然答案一致，但是我們的常規思路存在隱蔽的錯誤——將條件概率計算的條件范圍縮小了，即擴大了概率。也正因為這道題的兩種思路結果相同，導致了我們教師在解題和教學時，常常默認常規思路是正確的，用舍去非條件中的樣本來教學，最終導致了學生解題進入“誤區”。

綜上可見，遺傳計算時的“舍”與“不舍”是要視情況而定的——當遇到某個親本基因型為兩種情況時，其婚配方式需要分情況討論的情況下，后代的條件概率計算一定要按照正確的條件概率思維進行計算，否則很容易犯“以偏概全”的錯誤;而當親本基因型均一種時可以選用常規思路進行解答。所以，教師在教學過程中不僅僅是考慮一道題目的答案是否正確，更應該去鉆研求解過程的合理性。

參考文獻

[1]2009.普通高中課程標準試驗教科書數學選修2-3.江蘇：江蘇教育出版社，53～54