妙用橢圓積分計算單擺周期

胡上東

摘 要：根據2003年頒布的《普通高中物理課程標準（實驗）》對單擺周期公式的要求：（1）通過實驗，定性探究單擺的周期與擺長的關系;（2）知道單擺周期與擺長、重力加速度的關系。根據這一標準，不要求對單擺的周期公式進行推導。作為新課程實施教學的一線教師，對單擺周期公式的推導過程要知其所以然，才能對學生實施更好的教學。筆者用數學分析中的橢圓積分進行推導，供大家教學中參考。

關鍵詞：新課程;單擺周期;推導過程;橢圓積分

山東科學科技出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書《物理》選修3—4第一章“單擺”這一節中，提出了單擺的周期與擺長l的平方根成正比，與重力加速度g的平方根成反比，與振幅、擺球的質量無關，并確定了單擺的周期公式T，這些課本只用了一句話代過，卻沒有特別地加以說明，筆者也翻閱了其他版本的教材，大部分教材都沒有對此公式進行推導證明，只有一小部分輔導材料用了簡諧振動的微分方程進行推導，推導過程中計算相對會復雜一些，就這問題筆者用數學分析中的橢圓積分進行推導，供大家教學中參考。

如圖1所示，由一根不可伸長、不計質量的繩長為l，一端固定，另一端系質量為m的小球組成的單擺，O點為擺的平衡位置。

為了研究擺動的一般規律，設單擺的最大擺角為α，當擺角為θ時，速度大小為v，此時擺球的動能為，重力勢能為（取最低點O重力勢能為0），根據機械能守恒定律（不考慮空氣阻力）有：

（其中C為常數）（1）

根據邊界條件：（α為單擺的最大擺角），代入（1）式可得常數，故（1）式可轉化為

（2）

又，代入（2）中可得：

（3）

兩邊開根號可得：

又

所以：（4）

根據（4），若從平衡位置O點算起，從O點到P所需的時間t可表示為

（5）

由于θ范圍未知，可作如下代換

兩邊微分：

即（5）式可作如下轉換

（6）

（在《數學分析》中將類型的積分，稱為第一類橢圓積分）

這時候我們注意到剛才做的代換：

當θ=α時，;當θ=0時，φ=0;所以

所以周期公式可以表示為：

（7）

由（7）可以看出，只有當α很小時，，

從而有：

通常說的單擺是指一般非線性擺在擺角振幅很小時的情形。等時擺，周期與振幅的大小無關，是一種理想的模型。

參考文獻

[1]《中學新課標資源庫（物理卷）》，北京工業大學出版社，教育部《基礎教育課程》編輯部組織編寫。

[2]《數學分析》第二版，高等教育出版社，復旦大學數學系陳傳璋、金福臨、朱學炎、歐陽光中編。