多維視角巧切入 解三角形妙破解

摘 要：解三角形問題主要借助平面幾何圖形，特別是三角形中的邊與角之間的關(guān)系，通過正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，有時(shí)還綜合三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運(yùn)算，從而達(dá)到破解相關(guān)的邊、角、比值、面積、參數(shù)等相應(yīng)的問題.此類問題有助于學(xué)生知識(shí)體系的進(jìn)一步融會(huì)貫通，數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的全面提升，真正達(dá)到拓展思維，提升能力，培養(yǎng)素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：解三角形;正弦定理;余弦定理;平面幾何;變式;拓展

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? ?文章編號：1008-0333（2020）34-0037-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：郭建能（1980.12-），女，江蘇省啟東人，本科，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

解三角形問題是每年高考中的基本考點(diǎn)之一，有時(shí)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)以解答題的形式出現(xiàn)，一般難度維持在中等檔次.解三角形問題主要借助平面幾何圖形，特別是三角形中的邊與角之間的關(guān)系，通過正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，有時(shí)還綜合三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運(yùn)算，從而達(dá)到破解相關(guān)的邊、角、比值、面積、參數(shù)等相應(yīng)的問題.解三角形往往與三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識(shí)加以綜合，一般運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多.可以很好考查考生的運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想等，關(guān)鍵要善于審題，合理轉(zhuǎn)化，采用有效的策略，優(yōu)化過程，提升效益.

一、真題在線

高考真題 （2019·北京卷文·15）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B+C）的值.

二、真題解析

1.破解思維：解三角形思維

方法1 （官方標(biāo)答——正、余弦定理法）

（1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因?yàn)閎=c+2，所以（c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinA=absinB=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

點(diǎn)評 解三角形問題，多為平面幾何圖形中邊和角的求值與轉(zhuǎn)化問題，這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理以及三角形中的相關(guān)公式（三角形的面積公式、三角形內(nèi)角和公式等），結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其破解問題的基本步驟是：第一步：“定條件”，即確定平面幾何圖形，特別是三角形中的已知和所求，在平面幾何圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向;第二步：“定工具”，即根據(jù)條件和所求，有效、合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用;第三步：“求結(jié)果”.

2.破解思維：平面幾何思維

方法2 （平面幾何法1）

圖1

如圖1所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.

（1）設(shè)DB=m，由于cosB=-12，可得AB=c=2m，AD=3m.

而b-c=2，則有b=c+2=2m+2，

在Rt△ADC中，結(jié)合勾股定理有AD2+DC2=AC2，即（3m）2+（m+3）2=（2m+2）2，

解得m=52，所以c=2m =5，b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinA=absinB=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，

所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

方法3 （平面幾何法2）

圖2如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.

（1）由于a=3，cosB=-12，可得BD=12a=32，CD=32a=332.

而b-c=2，則有b=c+2.

在Rt△ACD中，結(jié)合勾股定理有CD2+DA2=CA2，

即（332）2+（32+c）2=（c+2）2，

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）在Rt△ACD中，sinA=CDDA=3327=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

點(diǎn)評 解三角形問題本身就是在平面幾何中進(jìn)行的一般化探究與總結(jié)，因而解三角形問題往往也可以回歸平面幾何，借助平面幾何的相關(guān)知識(shí)加以思維與破解.利用平面幾何知識(shí)破解復(fù)雜的解三角形問題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件加以合理切割、補(bǔ)形等操作，將問題背景轉(zhuǎn)化到特殊的三角形模型中去——直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等，進(jìn)而結(jié)合特殊三角形中的相關(guān)定理與性質(zhì)（特別是直角三角形，比如勾股定理等）來處理，往往可以更為直觀形象、簡單快捷地達(dá)到解決一些相關(guān)的解三角形問題.

三、變式拓展

變式 （2019·北京卷理·15）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B-C）的值.

解析 （1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因?yàn)閎=c+2，

所以（c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinC=cbsinB=5314.

在△ABC中，∠B為鈍角，所以∠C為銳角.

所以cosC=1-sin2C=1114.

所以sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=437.

四、解后反思

對于解三角形中的相關(guān)綜合問題，關(guān)鍵是有效發(fā)現(xiàn)三角形中的邊、角等要素之間的內(nèi)在聯(lián)系與變化規(guī)律，利用解三角形中的相關(guān)知識(shí)（包括正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等）以及三角函數(shù)中的相關(guān)公式等加以有效轉(zhuǎn)化，從而充分融合與交匯不同的知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建起知識(shí)點(diǎn)的有效聯(lián)系與合理轉(zhuǎn)化，真正有助于學(xué)生知識(shí)體系的進(jìn)一步融會(huì)貫通，數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的全面提升，真正達(dá)到拓展思維，提升能力，培養(yǎng)素養(yǎng)的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣凱，錢云祥.法隨心動(dòng) 心由境生——由一道數(shù)學(xué)題的解法探究產(chǎn)生的若干思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（03）：42-45.

[責(zé)任編輯：李 璟]