高中數學圓錐曲線解題技巧探析

馬天怡

摘 要：圓錐曲線問題是高中的數學課程之中重要部分，本文根據現階段的考試重點以及學生的學習特點對高中數學圓錐曲線不同問題的解題技巧進行分析，其中包括圓錐曲線之中動點軌跡方程問題、判斷圓錐曲線與直線的位置關系問題以及中點弦問題，為今后數學教學以及圓錐問題解決提供理論依據。

關鍵詞：高中數學;圓錐曲線;解題技巧

引言：在我國實現現代化進程之中，隨著我國對于教育的不斷重視，高中數學之中圓錐曲線問題是高中數學的主要部分也成為了眾多學生學習過程之中的難點問題，對待不同的數學圓錐曲線問題采用不同的解題技巧可以起到事半功倍的效果，所以對高中數學圓錐曲線的解題技巧進行研究分析具有重要的實際意義。

一、求圓錐曲線之中動點軌跡方程問題

對于高中數學圓錐曲線之中求一點或多點軌跡方程問題來說，題目內部的解題條件較為靈活，所以這就要求學生在解題過程之中應該依據題目中的條件為基礎，適當改變解題方法，提高解題效率。但是總體來說，求動點軌跡方程實質上就是將動點的x軸橫坐標以及y軸縱坐標羅列出來，然后找出其中的等量關系再經過一系列化簡得出方程式，常用的方法主要有以下幾種：

（1）直接化簡法

若在題目之中出現了直接的等式對應關系，并且條件較為簡單，那么則可以直接將條件轉變為方程式，然后通過基礎的代數化簡，便可以得到動點的軌跡方程式，由于此種方法不用任何解題的技巧，步驟也較為簡單，所以稱此種解題方法為直接化簡法。直接化簡法求動點方程軌跡的解題主要有以下幾個步驟：首先，根據題目條件構建平面直角坐標系。其次，假設動點p的坐標為（x，y）。再次，羅列出題目條件之中的代數等式，將p點坐標帶入。最后，將代數等式化簡得到動點的軌跡方程式[1]。

此題由于解題條件較為簡單，所以可以使用直接化簡法進行解答，解題過程如下：

（2）曲線定義法

若在解題過程之中發現題目所求動點符合某些曲線的基本定義，例如雙曲線、橢圓等等，那么解題時便可以根據相關的曲線定義和題目之中的條件得出動點的軌跡方程，解題時只需要將題目條件帶入基本方程之中便可以得到方程式。

根據此題條件可以看出M點為標準的橢圓方程，所以便可以將題目之中所羅列的條件帶入基礎的橢圓方程，得到軌跡方程，解題過程如下：

二、判斷圓錐曲線與一直線的位置關系問題

在高考的考綱中明確要求學生應該可以判斷曲線與直線的位置關系，并且可以利用各種函數以及等價轉化的數學建模思想解決數學問題，就此來看，在高考題目之中會出現判斷曲線與直線位置關系的問題，此種問題具有較強的綜合性，并且在解題過程之中有可能會涉及到韋達定理，一元二次方程的判別式以及向量等數學知識，可以考察學生的數學分析能力以及函數運算能力[2]。

對于判斷圓錐曲線與一直線的位置關系問題最常見的方法就是將直線的方程Ax+By+C=0和圓錐曲線M（x，y）的方程聯立，即可得到a+bx+cx2=0.此時便可以對曲線和直線的位置關系進行直觀判斷，當c=0時，二者聯立后的方程便是一個一元一次方程，則曲線與圓錐是相交關系，有且只有一個交點。當c>0或者c<0時，便可以得到一個一元二次方程，根據此方程解的個數便可以判斷直線與曲線的交點個數，進而判斷曲線與直線的位置關系。

三、中點弦問題

在圓錐曲線問題之中涉及到的中點弦問題主要有以下幾種類型：第一，求弦中點的軌跡方程。第二，求中點弦直線的方程式。只要題目中存在中點弦斜率的相應條件不論何種問題都可以使用點差法進行解答。使用點差法應該首先假設出端點的相應坐標，然后根據斜率公式與重點坐標公式，尋求弦斜率與重點坐標之間的關系。例如：在平面直角坐標系之中，存在一橢圓方程為1=y2+，并且MN是橢圓之中的一組弦，兩條線相互平行，而且KMN=2，問MN中點的軌跡方程式？

結論：綜上所述，對于高中圓錐曲線的解題技巧來說，需要解題者根據不同的解題類型，選擇合適的方法對其進行解答，本文主要對較為常見的圓錐曲線之中動點軌跡方程問題、判斷圓錐曲線與直線的位置關系問題以及中點弦問題進行分析，列出較為簡單的解題方法，提高解題效率。

參考文獻

[1]趙淑賢.高中數學圓錐曲線解題思考與探究[J].數學學習與研究，2019（15）：136.

[2]李勇，周會娟.從高考題看高中數學圓錐曲線解題技巧[J].數學學習與研究，2019（04）：95.