基于一道定積分題的解法引起的困惑與探究

摘要：由一道利用定積分的幾何意義進(jìn)行求解的定積分題的解法引起的困惑——是不是所有的定積分都能用此方法？知道其幾何意義卻沒公式繼續(xù)求解怎么辦？由此進(jìn)行解法探究。

關(guān)鍵詞：定積分;牛頓-萊布尼茨公式;變量替換法

中圖分類號：G4? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：（2020）-31-289

1 問題的提出與解答

我們知道，如果f（x）是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且存在原函數(shù)F（x），即F/（x）=f（x） ，則f（x）在

[a，b]上可積，且∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.這個結(jié)論叫做微積分基本定理（fundamental theorem of calculus），又叫做牛頓一菜布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），它也常寫成∫baf（x）dx = F（x）ba♂。

人民教育出版社（A）版出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2的P60習(xí)題1.7B組第1題：由定積分的性質(zhì)和幾何意義，說明∫a-aa2-x2dx的值

正如數(shù)學(xué)家柏拉圖所說：“不懂幾何者免進(jìn)。”大部分教師拿到題目后，都會直截了當(dāng)?shù)馗嬖V學(xué)生利用定積分的性質(zhì)和幾何意義，說明定積分∫a-aa2-x2dx的幾何意義是表示以原點(diǎn)為圓心，以a為半徑，在x軸上方的半圓的面積，因此定積分∫a-aa2-x2dx的值為12πa2。這樣完滿解答了這道題，學(xué)生也容易接受。

2 解答帶來的困惑與探索

我們知道，利用牛頓一菜布尼茨公式的關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)f（x）=a2-x2的原函數(shù)F（x），經(jīng)

過大量的運(yùn)算和思索，我們利用現(xiàn)有的知識水平是找不出f（x）=a2-x2的原函數(shù)，上面是利用定積分的幾何意義來解答的，教師用書也是這樣講的，這是無可厚非的，這似乎成了“自古華山一條道”的絕法。

李秉彝先生2008年發(fā)表在新加坡Association of Mathematics Educators（AME）主辦的刊物Maths

Buzz 10（2） 的文章 Why do we teach what we teach in schools？（即為什么在學(xué)校我們要教這樣的數(shù)學(xué)）中說：新加坡的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，告訴我們在學(xué)校里應(yīng)該教哪些數(shù)學(xué)。接著，教育學(xué)院就培訓(xùn)我們應(yīng)當(dāng)怎樣教這些數(shù)學(xué)。我們通常不會問這樣的問題：“為什么我們要教這樣的數(shù)學(xué)？”也就是說，我們常常問“教什么”、“怎么教”，但是從來不問“為什么”。

難道上面的題目只能利用定積分的幾何意義來解答嗎？不能用牛頓一菜布尼茨公式了嗎？難道牛頓一菜布尼公式真的失靈了。這的確沒有讓我墨守成規(guī)，反而激起了我無限的探索欲。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在談到學(xué)習(xí)與探索時(shí)指出：“在學(xué)習(xí)中要敢于做減法，就是減去前人已經(jīng)解決的部分，看看還有那些問題沒有解決，需要我們?nèi)ヌ剿鹘鉀Q。”

利用定積分的幾何意義固然很好，正如西爾維斯特（James Joseph Sylvester ）說：“幾何看來有時(shí)候要領(lǐng)先於分析，但事實(shí)上，幾何的先行於分析，只不過像一個仆人走在主人的前面一樣，是為主人開路的。”讓我們成為真正的主人吧！達(dá)朗貝爾說：“前進(jìn)吧， 前進(jìn)將使你產(chǎn)生信念。”讓我們的信念進(jìn)行到底！

我們知道利用定積分的幾何意義求得∫a-aa2-x2dx 的值為12πa2，通過對答案12πa2的剖析，其中的π與角度θ有關(guān)，這就啟發(fā)我們聯(lián)想到圓的參數(shù)方程x=a·cosθy=a·sinθ （θ為參數(shù)），能否把參數(shù)x、y轉(zhuǎn)化為θ呢？如果如果這一設(shè)想成功的話，那么問題就能轉(zhuǎn)化用牛頓一菜布尼公式來解答了。

例1：計(jì)算定積分∫a-aa2-x2dx的值

分析：設(shè)x=a·cosθ，∴dx=-a·sinθ·dθ

∵當(dāng)x=-a時(shí)θ=π;當(dāng)x=a時(shí)θ=0。

∴a2-x2=a·sinθ=a·sinθ。

∴∫a-aa2-x2dx=∫0πa·sinθ·（-a·sinθ·dθ）=-a2∫0π·sin2θ·dθ

=-a2∫0π1-cos2θ2·dθ = -a2·（12θ-14sin2θ）0π♂

=-a2·（0-12π）=12πa2

這樣，我們撇棄定積分的幾何意義，用牛頓一菜布尼公式也能解答這個問題了。這種方法我們稱之為“變量替換法”。正如數(shù)學(xué)家笛卡兒說：“我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何。”這就是我研究問題的真正目的。

3 問題的引申

例2：計(jì)算定積分∫a0b2-b2a2x2dx的值

分析：∵y=b2-b2a2x2 ?∴y2=b2-b2a2x2 ?∴x2a2+y2b2=1

∴定積分∫a0b2-b2a2x2dx表示橢圓x2a2+y2b2=1在第一限象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積，那么橢圓x2a2+y2b2=1的面積為多少呢？目前，教科書沒有橢圓的面積公式，如果利用定積分的幾何意義來求，上面問題無法解決。能否用變量替換法的方法來求？拉普拉斯（Pierre Simon Laplace ）說：“在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比。”如果能夠求出來的話，那么橢圓x2a2+y2b2=1就有象圓一樣有面積公式了。我們來繼續(xù)探索吧。

∵由橢圓的參數(shù)方程x=a·cosθy=b·sinθ （θ為參數(shù)），

∴設(shè)x=a·cosθ，∴dx=-a·sinθ·dθ

∵當(dāng)x=0時(shí)θ=π2;當(dāng)x=a時(shí)θ=0。

∴b2-b2a2x2=b2-b2a2？a2cos2θ=b2-b2cos2θ=b2sin2θ=bsinθ

∴∫a0b2-b2a2x2dx=∫0π2bsinθ？（-asinθ？dθ）=∫0π2-absin2θ？dθ

=-ab？∫0π21-cos2θ2？dθ=-ab？∫0π2（12-cos2θ2）dθ = -ab · （12θ-sin2θ4）0π2

=-ab？[（0-0）-（π4-0）]=π4ab

因此，橢圓x2a2+y2b2=1的面積為S=πab

例3：計(jì)算定積分∫10x21-x2dx的值

分析：我們知道定積分∫10x21-x2dx表示曲線y=x21-x2在第一限象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積，如下圖所示，如果利用定積分的幾何意義來求，上面問題無法解決。能否用變量替換法求解呢？

設(shè)x=cosθ，∴dx=-sinθ·dθ

∵當(dāng)x=0時(shí)θ=π2;當(dāng)x=1時(shí)θ=0。

∴∫10x21-x2dx=∫0π2cos2θ？sinθ？（-sinθ？dθ）

=-14∫0π2sin22θ·dθ=-18∫0π2（1-cos4θ）·dθ=18∫π20（1-cos4θ）·dθ = 18（θ-sin4θ4）π20=π16

4 結(jié)束語

從一個問題出發(fā)，了解其產(chǎn)生的背景，展望其未來的發(fā)展，過程是艱辛但痛快的，總吸引著我們鉆進(jìn)去，收獲是暢快且豐富的，總讓人想繼續(xù)追尋。反觀探索歷程，頓悟定積分的博大精深。作為一名教育工作者，在教學(xué)中不應(yīng)該拘泥于固有的教學(xué)方法，應(yīng)該要敢于創(chuàng)新。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“研究科學(xué)最寶貴的精神之一，是創(chuàng)造的精神，是獨(dú)立開辟荒原的精神，科學(xué)之所以得有今日，多半是得利于這樣的精神，在‘山窮水盡疑無路’的時(shí)候，卓越的科學(xué)家往往是另辟蹊境，創(chuàng)造出‘柳暗花明又一村’的境界。”這就是數(shù)學(xué)的力量，也許聽起來奇怪，數(shù)學(xué)的力量在于它規(guī)避了一切不必要的思考和它驚人地節(jié)省了腦力勞動。筆者認(rèn)為，教育工作者在教學(xué)的過程中，應(yīng)該教會學(xué)生在開辟蹊境的同時(shí)，又能節(jié)省了腦力勞動。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)得輕松又輕松的學(xué)。

參考文獻(xiàn)

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[3]劉玉璉 傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義（上冊）[M]. 上海.高等教育出版社，1989.

作者單位：福建省安溪沼濤中學(xué)