試論以靜制動

徐乾平

摘要：動點問題指的是坐標系或平面幾何圖形中的一個點進行變化的問題，一般是應用題的最后一問，屬于比較難的題目，而近年來動點問題有越來越基礎化的趨勢，開始出現在填空題和選擇題中，所以教師在動點問題教學中一定要格外重視，讓每一名學生了解解題原理，明確解題思路，用“以靜制動”的思路來解決此類問題。本文從三種題型角度進行舉例和闡述，以求各位教師能夠更加高效地進行教學，望給予教師參考。

關鍵詞：以靜制動;初中數學;動點問題;舉例

引言：“以靜制動”指的是以理論知識為基礎，舉一些實際的、簡單易懂的例子，讓學生初步理解定義，然后教師再將題目代入，以便學生能夠更好地理解。在動點問題教學過程中，我們教師要抓住題目思路的基本點，即點在運動中達到的特殊位置，從而讓學生能夠順利展開空間想象能力，進而有思考和分析的過程，有了關鍵的解題點，動點問題將迎刃而解。

一、動點問題的題型和解題注意事項

動點問題的歸根到底是幾何問題，學生必須要理解幾何圖形的基本性質，并且能夠很好地運用起來，才能進行進一步的探討[1]。動點問題涉及的圖形一般是四邊形和三角形，常見的運用到題目中的圖形有平行四邊形、菱形、矩形、正方形。動點問題的解題要注意以下幾點：①設出未知數，動點問題可能求點運動的時間，也有可能求點運動的長度，學生要根據未知量設置相應的未知數，以便進行接下來的計算;②找等量關系，等量關系一般指的是邊長相同、速度×時間=距離、中點平分線段等，在解題過程中學生要善于挖掘這些信息，多運用方程解決問題;③分類討論，因為一些題目不會直接說出點的運動方向，所以需要分類討論點的運動情況，很多學生會掉進題目的陷阱，只考慮了一種運動情況，教師在教學過程中要格外注意[2]。

二、動點問題的舉例和分析

1. 平行四邊形的動點問題

【例】四邊形ABCD是菱形，P是邊AD上的點，點P從點A出發，沿射線AD運動，速度是1厘米/秒，Q是邊BC上的點，點Q從點B出發，沿射線BC運動，速度是2厘米/秒，BC的長度是5厘米.

（1）已知∠B是60°，連接PQ，設點G是BD的中點，當PQ經過點G時，求證：△DGP≌△BGQ;

（2）設兩個動點P，Q的運動時間是t，當四邊形ACFE是平行四邊形時，求出t的值.

【分析】第（1）問是比較基礎的平行和全等三角形問題，根據BG=DG、AD∥BC、∠DPG=∠BQG，運用“角角邊”定則就可以得出兩個三角形是全等三角形。第（2）問就涉及到上文提到的分類討論，因為Q的運動方向沒有明確給出，所以Q可能在C的左側，也有可能在C的右側，當圖形是平行四邊形時，AP=CQ，根據這個等式列方程，最后求出答案。解第（2）問時運用了平行四邊形的對邊相等的特征。

2. 菱形的動點問題

【例】如圖，在等邊△ABC中，∠B是直角，∠A=60°，邊CA長60厘米，點M是邊CA上的一個動點，它從點C出發，沿CA方向以6厘米/秒的速度勻速向點A運動，與此同時，點P是邊AB上的一個動點，它從點A出發，沿AB方向以3厘米/秒的速度勻速向點B運動，兩個動點若有其中任意一個點停下，那么另一個點也立即終止運動.過點M作MQ⊥BC于點Q，連接MP，PQ.

（1）設兩個動點P，M的運動時間是t，并且t小于等于10秒，求出t的值，使四邊形AMQP成為菱形;

（2）求出t的值，使△MPQ為直角三角形.

【分析】第（1）問涉及到平行四邊形的證明、菱形的特征，若四邊形APQD是菱形，那么AP=AM，可以列出方程60-6t=3t，解方程回答問題。第（2）問涉及到分類討論，三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，當P點運動到某一個位置時，△MPQ是特殊的直角三角形，三個頂點都有可能是直角點，需要分類說明，這道題考查了直角三角形的性質，用方程可以得出最后的結果。

3. 矩形的動點問題

【例】如圖，在矩形ABCD中，AB= 2cm BC= 4cm點P從點D出發向點A運動，運動到點A即停止;同時點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止，點P，Q的速度都是1cm/s，連接PQ、AQ、CP.設點P、Q運動的時間為ts.

（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形;

（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形.

【分析】這道題涉及到矩形和菱形的特征，即矩形的對邊相等，菱形的四條邊相等，對角線互相垂直，所以第（1）問可得方程t=4-t，解方程回答問題，第（2）問可根據勾股定理，列方程√22+t2=4-t，解方程回答問題。

結束語：雖然動點問題有一個固定的思考方向，但是具體的解題思路還是各有不同，所以教師要督促學生們將新的動點問題題型記錄下來，經常拿出來練習，這樣才能用靈活的思路面對有可能出現的各種題型。我們教師教給學生對不是題目的答案，而是數學的思維方式，只有培養出學生的數學思維，才能提高他們的數學素質，讓他們用更加完善的思維面對今后的學習。

參考文獻：

[1].何華萍. 畫圖 轉化 討論——例談初中數學"動點問題"的解題指導策略[J]. 數學教學通訊，2020（5）：87-88.

[2].系艷清. 探索一類動點軌跡問題的解決方法[J]. 數學通訊，2020（3）：15-18.

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