反證法在不等式證明方法中的應用

摘要：證明不等式一直是數學學習的重點和熱點問題之一，本文簡單地介紹了不等式的相關性質，對反證法做了簡單的介紹，詳細地分析了反證法在不等式證明方法中的應用.不等式在數學領域占有十分重要的位置，滲透到數學的各個層面.

關鍵詞：不等式;反證法;證明方法

一、不等式的發展歷史

在小學的數學學習過程中，不等式一直扮演著非常重要的角色，且不等式的證明一直是重點和難點問題之一.相比于等式，不等式的存在則更加廣泛，所以人們很早就意識到不等式的存在，但是真正的理論發展是在17世紀以后，從此不等式逐漸成為數學基礎理論的一部分.

不等式最早的時候只是一些零亂孤立的公式，并不是一套系統的科學理論，但一切在1934年發生了變化，由劍橋大學出版的Inequalities標志著數學不等式理論及其研究正式粉墨登場，自此不等式成為了一門新興的數學學科，形成了一套比較系統、完善的科學.

歷史上，中國數學家取得了卓越輝煌的成績，如華羅庚、林東坡等.近年來，也涌現出了很多數學教育工作者，他們也在不等式的發展前途上，起了推波助瀾的作用，他們開展了一系列創新性的工程，而且也取得了驕人的成績，他們將不等式的新發現推向世界各地.

二、不等式的基本性質

不等式的基本性質1 不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變.

一般地，如果，那么或者.

不等式的基本性質2 不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變;不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

一般地，如果，并且，那么;如果，并且，那么.

例1 利用不等式的性質求不等式的解集？

不等式的基本性質是通過類比等式的基本性質探索得出的，唯一不同點就是兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.在初中數學的學習中，把握好不等式的性質，才能更好的將不等式學好，才能在考試中更游刃有余.

三、反證法

反證法：先假設證明的結論是錯的，然后通過嚴密的邏輯推理得出矛盾，否定假設，從而確定結論的正確性.反證法在數學中的適用性很強，當題目很難從正面證明時，就需要反證法.

總結：反證法主體思路：提出假設（否定命題）證明矛盾（矛盾可以是：① 與已知條件相互矛盾;② 與原題假設相互矛盾;③ 與公式定理事實等相互矛盾）得到肯定.當題目從正面不易解決時便使用反證法.當題目中有“都”，“至少（多）”，“唯一”等詞時多使用反證法.

四、結束語

在利用反證法證明不等式時應該注意以下幾點：（1）應該去否定結論，即假設結論的反面成立，當結論的反面呈現多樣性時，必須把所有可能的結論一一列出來.（2）把結論的對立面當作條件，然后根據這一條件去推理證明.（3）推出的矛盾呈現多種可能性，有時會與已知條件沖突，有時與實際情況相悖.

在初中數學的學習中，不等式占據了很重要的一大部分，把不等式學好了，就能樹立學習數學的自信心，增強學習的興趣.尤其是用反證法在證明不等式時起著非常重要的作用.對于一些較為復雜的不等式的證明題，有時采用反證法會使得問題變得相對簡單很多，在具體的學習實踐中我們應該熟練掌握反證法，當問題來臨時我們可以迅速反應過來，從容不迫地把不等式問題解決.

通過這么多年的學習，我們深深的感覺到不等式的廣泛性、重要性、和困難性.不等式貫穿于數學的各個角落，所以說要學好數學必須在不等式上打下不錯的基礎.本文主要研究了用反證法來證明不等式.事實上，只用一種方法便能解決一道題目是不現實的，需要各種方法共同合作，這就要求我們可以掌握好每一種方法.關鍵是要學會舉一反三，把方法融會貫通，這樣將來面對更加困難的題目時才不會犯難.

參考文獻：

[1] G.H.Hardy，J.E.Littlewood，G.Plya，Inequalities[M]，English：Cambridge University Press，1934.

[2] 匡繼昌，常用不等式[M]，湖南：湖南教育出版社出版.1989，6.

[3] 魏貴民，微積分（上）[M]，北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：梅蒙蒙;男（1989-7-20）;安徽亳州;漢族;碩士;中學二級教師;研究方向：數學

蘇州市吳中區橫涇中學 江蘇省蘇州市 215103