淺談高中數學應用問題的基本解法

崔娟

摘 要：隨著教育的不斷改革，高中數學應用問題越來越重要，已成為教學的重要內容之一。教師要充分認識數學應用問題的重要性，增加學生的應用意識，幫助學生提高解題應用能力，讓學生在應用問題中得到提升和發展。

關鍵詞：高中數學;應用問題;解法

數學和現實生活深度聯系，這就要求學生在應用數學知識、數學技能、思想方法等過程中解決數學應用問題。教師要在把握高中數學應用問題基礎上明確基本解法，指引各層次學生科學把握、解決高中數學應用問題，強化數學應用意識的同時鍛煉解決數學實際問題的能力。

一、三角函數應用問題

三角函數是新課標下高中數學學習中學生必須掌握的知識點，也是難點所在。同時三角函數最值問題是高考的一大熱點，會和不等式、解析幾何、數列、平面向量等知識有機結合，著重考查學生對知識的綜合應用，包括數形結合、化歸、轉化、分類討論等思想應用情況，求解、實際問題解決等能力。比如，某一居民區有一塊矩形的草坪ABCD，其中AB為50米，BC為25√3米，現要在這塊矩形的草坪內鋪設3條小路，即OE、EF、OF，供小區居民日常休閑散步，但在考慮小區整體規劃的基礎上將O作為AB的中點，E點位于BC邊，角EOF剛好為90度。假設角BOE為a，用a的函數關系式表示三角形OEF的周長，求出該函數的定義域;假設矩形草坪中3條小路每米的鋪設成本都是400元，請問如何設計3條小路才能讓鋪設的總成本最低且最小成本為多少元？下面是該試題與之對應的圖形。

提出該三角函數應用問題之后，教師可以引領、指導班級各小組學生在理解題意的基礎上進行有效思考，探討該試題解答的基本方法，在歸納、總結的過程中指引其深層次思考，在讀題、審題的基礎上準確梳理該試題中的關系，將這一實際應用問題轉換為對應的數學問題，構建三角函數模型的同時應用三角函數知識以及多種思想方法、三角函數解題技巧，以該居民區草坪小路設計實際情況為基礎，準確列出三角函數式子的同時進行解答。在此過程中，教師要巧用錯題資源，多層次引領班級學生思考、探究試題解答錯誤的原因，糾錯的同時明確易錯點、解題突破口等，科學歸納、總結關于三角函數應用問題的基本解法，在強化訓練過程中達到舉一反三的目的。

二、關于數列應用問題

數列是高中數學的重點以及難點所在，體現在等差數列、等比數列兩大層面。教師要深化剖析數列章節學習中各層次學生存在的問題，聯系日常生活實際的同時高效講解數列應用問題的基本解法，讓各層次學生在掌握、內化等差以及等比數列知識過程中更好地將其應用到實踐中，鍛煉數學思維、解題能力的同時達到學以致用的目的。比如，某工廠去年產值為a，計劃今后六年內每年產值都要比上一年增加15%，請問從今年起到第六年，該工廠總產值是多少？

提出這一數列應用問題之后，教師可以讓學生在閱讀、審題的基礎上圍繞已知條件、未知條件，利用數列知識、常規解題方法進行解答，根據其解答情況，針對性補充、講解的同時進行變式訓練，將等差數列、等比數列知識有機結合，改變或者增加該數列中的已知條件、未知條件，指引學生在思考、探究中活用掌握的數列知識、解題技巧、思想方法，正確解答試題的同時探索不同的解題方法，在一題多解過程中比較、分析、總結數列應用問題的基本解法，提高數列學習效率。

三、線性規劃應用問題

線性規劃應用問題是高中數學教材“不等式”章節下的關鍵點，主要體現在二元一次不等式（組）方面。教師要細化把握一元二次不等式、二元一次不等式（組）等知識點，聯系日常生活實際的同時科學設置關于不等式的線性規劃應用問題，在應用基本解法過程中準確解決關于不等式線性規劃的應用問題。比如，已知某企業生產甲乙兩種產品，生產每噸甲產品需要用A原料、B原料分別為3噸、2噸，生產每噸乙產品需要用A原料、B原料分別為1噸、3噸。銷售每噸甲產品、每噸乙產品獲取的利潤分別為5萬元、3萬元，如果在一個生產周期內該企業生產甲乙兩種產品中消耗的A、B兩種原料分別不超過13噸、18噸，請問在生產甲乙兩種產品過程中該企業獲取的最大利潤是多少？

提出線性規劃應用問題之后，教師要強調學生主體地位呈現，讓學生立足這一基于二元一次不等式的線性規劃應用問題，認真解讀試題、明確題意的同時準確把握試題中的已知條件、未知條件，包括涉及到的不等式、線性規劃等知識。隨后，學生要在試題剖析、聯想的基礎上借助數形結合、建模等思想方法，準確繪制試題圖形，構建數學模型的同時在數形結合下探究試題解答思路，靈活應用不等式以及線性規劃知識，合理假設未知數的同時列出約束條件以及目標函數，再進行求解。具體來說，假設甲乙兩種產品各自需要生產X噸、Y噸，才能讓獲取的利潤（Z）最大化，得出對應的約束條件，3x+y≤13，2x+3y≤18且x≥0、y≥0，構建二元一次不等式組，求目標函數Z=5x+3y的最大值，可以求出X、y分別為3、4，則目標函數Z為27，也就是說，該企業獲取的最大利潤為27萬元。

四、結語

總而言之，數學應用性問題是對數學學科和現實生活、科技、生產等之間關系的客觀折射。教師要深層次剖析高中數學中三角函數、解析幾何、概率統計等知識，優化數學應用問題的基本解法，在教與學銜接中指引學生掌握基本解法、數學技能的同時提高解題速度、準確率與能力，在實際問題解決中發展實用能力。

參考文獻

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本文系淄博市教育科學“十三五”規劃一般課題“問題探究式教學與數學應用能力培養策略研究”的研究成果（課題編號：2019ZJY027）