射影幾何的產(chǎn)生和發(fā)展

成海濤

一、射影幾何產(chǎn)生的歷史背景

1566年，科曼迪諾（F，Commandino，1509年-1575年）把阿波羅尼奧斯fApollonius）的《圓錐曲線論》的前四卷譯成拉丁文，引起了數(shù)學家們對幾何的關(guān)注，在短短幾十年的時間里，人們便突破了傳統(tǒng)幾何的局限，創(chuàng)立了一門嶄新的學科——射影幾何。

射影幾何起源于透視法，而當時透視法主要應用于繪畫，為了能在畫布上畫出大自然的真實樣子，人們就需要解決一個數(shù)學問題：如何把三維的現(xiàn)實世界反映到二維的畫布上，意大利的建筑師、數(shù)學家阿爾貝蒂（L，B，Alberti，1404年-1472年）認真考慮了這一問題，他在1435年寫成的《論繪畫》（1511年出版）一書中作了具體的闡述：在眼睛和景物之間插進一張直立的玻璃板，設光線從眼睛出發(fā)射到景物的每一個點上，這些線叫投影線，設想每根線與玻璃板交于一點，這些點的集合叫做截景，顯然，截景給眼睛的印象和景物本身一樣，所以要畫出一個逼真的畫作，就要在玻璃板（實際是畫布）上獲得一個真正的截景。

例如，人眼在O處觀察水平面上的矩形ABCD（圖1）時，從O到矩形各點的連線形成一個投影棱錐，其中OA、OB、OC、OD是四根典型的投影線，若在人眼和矩形間插入一個平面，并連結(jié)四條線與平面的交點A’、B’、C’、D’，則四邊形A’B’C’D’為矩形ABCD的截景，由于截景對人眼產(chǎn)生的視覺印象和原矩形一樣，它們必然有相同之處，但從直觀上看，截景和原形既不全等又不相似，也不會有相同的面積，截景甚至并非是矩形，那么，截景與原形究竟有什么共性呢？這正是阿爾貝蒂苦苦思索，卻未找到答案的問題。

阿爾貝蒂還考慮到：如果在眼睛和景物之間插進兩張玻璃板，它們上面的截景將是不同的;如果從兩個不同位置來觀察景物，截景也將是不同的，但所有截景都反映同一景物，它們之間必然存在某種關(guān)系，于是他進一步提出問題：同一景物的任意兩個截景間有什么數(shù)學關(guān)系？或者說有什么共同的特點？他留給后人的這些問題成為射影幾何研究的出發(fā)點。

二、射影幾何的發(fā)展

1.德扎格創(chuàng)立了射影幾何

射影幾何的創(chuàng)始人是法國的建筑師德扎格（G，De-sargues，1591年-1661年），1639年，他發(fā)表了一本重要著作《試論圓錐與平面相交結(jié)果》，這部書推動了19世紀射影幾何的蓬勃發(fā)展，被公認為是這一學科的經(jīng)典著作，這本書在發(fā)表之初，沒有受到數(shù)學家們的重視，德扎格把書印了50份，分送給他的朋友，但不久這些書便全部散失了，直到1845年，沙勒（M，Chasles，1793年1880年）才偶然發(fā)現(xiàn)了一個手抄本，波德（N，G，Pou-dral將其復制，使德扎格有關(guān)射影幾何的成果重新出現(xiàn)在公眾的視野當中，1950年，這部書的原版本終于在巴黎被發(fā)現(xiàn)，并得以復制發(fā)行。

為什么德扎格的書在當時被忽略呢？主要有兩個原因，一是它被差不多同時出現(xiàn)的解析幾何掩蓋了它的光芒，笛卡兒的解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，可以迅速得到數(shù)量的結(jié)果，而射影幾何主要是研究幾何的定性，由于當時的技術(shù)發(fā)展更需要解析幾何這樣的有力工具，所以解析幾何更受歡迎，第二個原因是，德扎格的寫作形式比較古怪，他引進了70個新術(shù)語，其中很多是從植物學中借用的，例如，他用棕（Palm）、干、樹來表示三種不同性質(zhì)的直線，這類語句極不易理解，除了笛卡兒、帕斯卡、費馬等幾位大數(shù)學家外，很少有人欣賞他的著作。

德扎格數(shù)學思想的出色之處，首先在于他引進了無窮遠點和無窮遠線，阿爾貝蒂曾指出，畫面上的平行線應交于一點，除非它們平行于玻璃板（如圖1）例如，圖1中的B’C’和A’D’便相交于某點O’，這一點不和BC或AD上任何普通的點對應，所以叫沒影點，而除O’外的直線B’C’或A’D’上的任何點，都對應著BC或AD上某個確定的點，為了使B’c’與BC上的點以及A’D’與AD上的點有完全的對應關(guān)系，德扎格在AD及BC上引入一個新的點，叫做無窮遠點，把它看作兩平行線的公共點，所有平行于BC的直線都交于這一點，方向不同于BC的另外一組平行線，則有另外一個公共的無窮遠點，由于平行線組的數(shù)目是無窮的，德扎格實際是在平面上引入了無窮多的新點，他假定所有這些點都在同一直線上，而這條直線則對應于截景上的水平線或沒影線（即圖1中的OO’），以這種新規(guī)定為前提，我們就可以斷言“平面上任意兩直線必交于一點”了，因為不平行線交于普通點而平行線交于無窮遠點。

在引入了無窮遠點和無窮遠線后，德扎格研究了這樣的問題：設有點O（圖2）及三角形ABC，則OB、OC、OA可看作三條投影線，ABC的一個截景為A'B'C’，其中A與A’對應，B與B'對應，C與C’對應，顯然，AA’、BB’和CC'交于一點O，設AB與A’B’交于Q，AC與A'C'交于P，BC和B'C'交于R，德扎格證明了：Q、P、R必在一條直線上，這就是著名的德扎格定理：若兩個三角形對應頂點連線共點，則對應邊交點共線，不管兩個三角形是否在同一平面，定理都是成立的，其逆定理也同樣成立，德扎格在書中對二維和三維空間中的正、逆定理都作了證明。

在深入研究投影性質(zhì)的基礎上，德扎格終于回答了阿爾貝蒂之前就提出的問題：同一實物的兩個截景間有什么數(shù)學關(guān)系？這實質(zhì)是—個投影下的不變性問題。

德扎格把他的射影幾何思想用于圓錐曲線，并得到了許多新的結(jié)果：直線可以看作具有無限長半徑的圓的一部分;焦點相合的橢圓可退化為圓;焦點之一在無窮遠的橢圓是一拋物線;等等，他不再把圓錐曲線看作圓錐與平面的交線，而是將其理解為圓的截景，圓不僅可以變換為橢圓，而且可以變換為開口的拋物線或雙曲線，該曲線仍看作封閉的，只不過是一個點在無窮遠而已德扎格力圖用投射、截景等射影幾何概念統(tǒng)一處理各種圓錐曲線，從而為圓錐曲線的研究開辟了廣闊的前景，德扎格便將投影法推廣到一般圓錐曲線，因為圓的截景可以是任意的圓錐曲線，而對合關(guān)系在投影后是不變的，從而揭示了圓錐曲線的一個重要性質(zhì)。

2.帕斯卡有關(guān)射影幾何的研究成果

帕斯卡（B，Pascal，1623年-1662年）是德扎格的學生，也是一位了不起的數(shù)學天才，他在微積分、概率、代數(shù)、射影幾何等方面都作出了引人注目的貢獻。

14歲時，帕斯卡參加了巴黎數(shù)學家的每周聚會，在德扎格的影響下，逐漸對德扎格的射影幾何思想產(chǎn)生了興趣，他嘗試用射影法研究二次曲線，并在1639年寫下了一本約八頁的小冊子《略論圓錐曲線》，笛卡兒看過以后，給予了高度的評價，遺憾的是這本書不久便失傳了，直到1779年才被重新發(fā)現(xiàn)。

帕斯卡的書中最著名的結(jié)果是下述定理：若一個六邊形內(nèi)接于一圓錐曲線，則每兩條對邊相交而得的三點在同一直線上，如圖3.P、Q及R在同一直線上，若六邊形的對邊兩兩平行，則P、Q、R在無窮遠線上，該定理被后人稱為帕斯卡定理，在射影幾何里是十分重要的。

帕斯卡首先證明了該定理對圓成立，然后用投影法研究一般的圓錐曲線，若從上圖平面外的一點作它的投射錐并取一截景，則截景必含一圓錐曲線及內(nèi)接六邊形，六邊形的對邊仍將交于一條直線上的三點，這條直線與PQR相對應，該定理確定了圓錐曲線上六個點的射影相關(guān)性，如果已知六個點中的五個，就能確定一條圓錐曲線，這個定理是射影幾何中內(nèi)容最豐富的定理之一，由它出發(fā)可以導出大量推論，例如：（1）如果一個三角形內(nèi)接于一圓錐曲線，則其頂點上的切線與對邊交于三個共線點，（2）若五邊形ABCDE內(nèi)接于一圓錐曲線，則AB、DE;BC、EA;CD與A點上的切線交于三個共線點，（3）內(nèi)接于一圓錐曲線的四邊形的兩對對邊，連同對著的頂點的兩對切線，交于四個共線點，

帕斯卡定理的逆定理：若一個六邊形的三對對邊的三個交點共線，則六邊形頂點在一圓錐曲線上，也是成立的，但帕斯卡沒有考慮過。

三、射影幾何中的新思想

伴隨著射影幾何的誕生，一些新的數(shù)學思想出現(xiàn)了，開普勒（J，Kepler）在1604年出版的《天文學的光學部分》中提出：將橢圓的一個焦點固定而讓另一個焦點在它們的連線上移動，若動點移向無窮遠，橢圓成為拋物線;若這個動焦點又出現(xiàn)在定焦點的另一方，拋物線就變成雙曲線;當兩焦點合而為一，橢圓變成圓，而雙曲線的兩焦點合在一起時，雙曲線便退化為兩直線，德扎格則采用更為有效的方法——投射取截法來實現(xiàn)二次曲線的連續(xù)變化，只要改變截景平面的位置，就可使圓的截景從圓連續(xù)變?yōu)闄E圓、拋物線以及雙曲線，因此，對于圓成立的許多性質(zhì)，都可通過取截景的方法來證明它們對其他二次曲線也成立，這就為后來數(shù)學家的研究提供了一種相當一般的簡便方法。

從射影幾何中產(chǎn)生的另一個新思想是變換和不變性，從某點向一圖形作投影線，然后取截景，這就是把原圖形變成了新的圖形，而原圖形中值得研究的性質(zhì)是變換后保持不變的一些性質(zhì)，這種變換思想不僅導致了另一門新學科——仿射幾何的誕生，而且當人們用變換與不變性的觀點來重新研究歐氏幾何時，發(fā)現(xiàn)了三種幾何的本質(zhì)聯(lián)系及從屬關(guān)系，實際上，射影幾何包含了仿射幾何，而仿射幾何包含了歐氏幾何。

雖然射影幾何方面的工作最初是為了給畫家提供方便，但它的意義遠不止于此，在當時，它由于解析幾何的發(fā)展而略顯失色，甚至一度被人們遺忘，但到19世紀被人們重新發(fā)現(xiàn)時，德扎格和帕斯卡等人的杰出思想終于大放異彩，射影幾何作為一個著重研究圖形位置和相交方面性質(zhì)的學科，終于成熟了。