文藝復興時期人們是如何解三次方程式的

比療 伯林霍夫 費爾南多 辜維亞

數學問題很少一開始就以抽象的形式出現，但解三次方程式（三次方程）卻是以一種抽象形式出現的，問題最初出現在公元前400年左右，但完整的解決方案卻在2000年之后才得到，之后，有人就嘗試將代數應用于解三次方程式，阿爾一海亞米（1048年-1131年）也是其中之一，西方人多稱他為歐瑪爾·海亞姆，阿爾一海亞米是當時著名的數學家、科學家和哲學家，由于阿拉伯數學家不使用負數，也不允許零作為系數，所以阿爾一海亞米必須考慮許多不同的情況，對他來說，x+ax=b和x=ax+b是不同類型的方程式，阿拉伯代數完全用文字表達，因此他將它們分別描述為“立方和根等于數”和“立方等于根和數”，這樣，就有了14種不同的三次方程式，對于每一類方程式，阿爾一海亞米都找到了對應的幾何解：用幾何作圖方式找出滿足方程式的線段，這些幾何圖大多涉及了相交的圓錐曲線，許多都有額外條件來保證正解的存在，阿爾一海亞米的研究成果令人印象深刻，但他自己也承認，用一個數表示一個方程的解是一個難度很大的問題，這個問題要留給后人去解決。

代數在13世紀傳播到了意大利，比薩的列奧納多在他所著的《算盤全書》中，用阿拉伯數字討論了代數和算術問題，在接下來的幾個世紀里，算術和代數在意大利發展起來了，隨著意大利商業活動的不斷發展，人們越來越需要簡單的代數計算方法，意大利的“計算師傅”試圖通過撰寫關于算術和代數的書來滿足這一需要，其中有幾個討論解三次方程式的例子，有些例子是為了便于求解方程，或者是根據答案而建立題目的，有些作者提出了錯誤的解法，但仍然沒有人能完全解出一般的三次方程式。

這個問題的研究一直沒有得到什么實質性的進展，直到16世紀上半葉，西皮奧·德爾·費羅和被稱為塔塔利亞（Tartaglia）的尼科洛·豐塔納有了新的突破，兩人都發現了解某些三次方程式的方法，但他們都沒有將他們的解答方法對外公布，當時，意大利學者大多得到有錢人的支持，而學者們不得不通過公開比賽擊敗其他學者來證明他們的才華，這個競賽制度鼓勵人們保守秘密。

1535年，塔塔利亞吹噓他可以解三次方程，但他不告訴任何人他是如何做到的，西皮奧·德爾·費羅此時已經去世了，他把自己的秘密解法傳給了他的學生安東尼奧·瑪麗亞·菲奧雷，不久，菲奧雷向塔塔利亞提出了挑戰，事實證明，費羅知道如何解答題型為+cx=d的方程式，而塔塔利亞已經發現了如何求解x+cx=d的方程式，在比賽時，塔塔利亞向菲奧雷給出了一系列不同領域的數學問題，但菲奧雷給出的每一個問題都歸結為他可以解的三次方程式，出于這一點，塔塔利亞也設法找到了這種方程式的解法，并輕而易舉地贏得了比賽，菲奧雷的知識并沒有超出解三次方程的范圍，塔塔利亞獲勝的消息最終傳到了16世紀意大利最有趣的人物之一吉羅拉莫·卡爾達諾耳中，卡爾達諾是一名醫生、哲學家、占星家和數學家，在這些領域中，他在整個歐洲都是知名的，并受到人們的尊敬。

在聽說塔塔利亞的解題方法后，卡爾達諾在1539年聯系了他，試圖說服他分享這個秘密，卡爾達諾多次懇求，并承諾保密，最終塔塔利亞來到米蘭向卡爾達諾傳授他的解法，當掌握了兩種解三次方程的方法后，卡爾達諾開始研究一般方程式的解法，經過6年堅持不懈的工作，他終于找到了所有三次方程的完整解法，他的助手羅多維科·法拉利（Lodovieo Ferrari）將相同的觀點應用于一般的四次方程，并設法找到了相應的解法，這時，卡爾達諾才知道他對數學作出了巨大的貢獻，但是，他要怎樣做才能不違背諾言把它出版呢？他找到了辦法，他發現，德爾·費羅在塔塔利亞之前就已經找到了關鍵案例的解法，因為他沒有答應對費羅承諾保守他的秘密，他覺得他可以發表，即使這種解法與他從塔塔利亞那里學到的一樣，最終他出版了一本被稱為《大技術》的書，大技術（The Great Art）意思就是代數，它完整描述了關于如何求解任意三次方程的方法，并從幾何角度說明了這些解法是正確的原因，這本書中還記載了費拉里四次方程的解法，該書是用拉丁文寫的，廣泛影響了歐洲各地的學者，當然，它也傳到了塔塔利亞手中，塔塔利亞怒火中燒，但他能做什么呢？秘密已經泄露了，他將卡爾達諾的背叛公之于世，但卡爾達諾無意糾纏此事，相反，費拉里聯系了塔塔利亞并發起了挑戰，塔塔利亞認為費拉里是個無名小卒，所以他一開始無意應戰，除非卡爾達諾也能接受挑戰，但是在1548年，塔塔利亞被安排了一個教授職位，條件是他要在比賽中擊敗費拉里，他覺得能輕易獲勝，于是便同意了，然而，費拉里知道如何求解一般的三次和四次方程，塔塔利亞卻并沒有學會《大技術》中的這部分內容，所以輸掉了比賽，

卡爾達諾在寫《大技術》之前注意到了這一問題，他詢問過塔塔利亞，但塔塔利亞似乎沒有回答，他只是認為，卡爾達諾根本沒有理解如何解決這類問題，解決這一問題的責任落在了拉斐羅·邦貝利身上，邦貝利首先討論了上面給出的方程式，然后，他以幾何方式證明，無論p和g的（正）值如何，x=px+q總是有一個正解，另一方面，他還說明了，當p和g取值哪些時，解這個方程會出現負數平方根，邦貝利在這件事上表現出了他的才華，他證明了用負數的平方根進行運算是可能的，而且仍然可以得到合理的答案。

三次和四次方程問題被解決，自然地，人們的下一個目標是解五次方程，而事實上，找到解一般五次方程的公式是不可能的，證明這一點需要徹底改變觀點，這最終導致了抽象代數的產生。