劉徽的數學成就

賈輝明

劉徽是中國古代偉大的數學家之一，

他是三國時代魏國人，籍貫山東，生卒年不詳，約死于西晉初年，劉徽出身于平民，終生未仕，被稱為“布衣”數學家。

劉徽在童年時代就學習過《九章算術》，成年后又對該書進行了深入的研究，于公元263年左右寫成《九章算術注》，劉徽在其自序中說：“徽幼習《九章》，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注，”劉徽在研究《九章算術》的過程中，對其中的重要結論一一進行了證明，并糾正了書中的一些錯誤，總結出了一些新的結論，《九章算術注》是劉徽留給后世十分珍貴的數學遺產，是中國傳統數學理論研究的奠基之作。《重差》是劉徽的另一部著作，專講測量問題，《重差》是《九章算術注》的第十卷，唐代初，人們將其改成單行本，并改名為《海島算經》。

從劉徽的著作來看，他學風嚴謹，實事求是，富于批判精神，敢于創新，對理論的研究相當深入，堪稱數學史上的楷模。

一、《九章算術注》

1.算術

（1）十進分數

（2）齊同術

《九章算術》中雖有分數通分的方法，但沒有形成完整的理論體系，劉徽提出了齊同術，使這一理論趨于完善，他說：“凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同，”它的意思是，一個分數用同一個（非零）數一乘一除，其值不變，并且，他還提供了通分后數值不變的理論依據，另外，劉徽利用齊同術解決了盈不足問題。

2.代數

（1）定義正、負數

《九章算術》成書后，正、負數雖然被應用于更為廣泛的領域，卻還沒有明確的定義，劉徽在《九章算術注》中首次明確地給出了正負數的定義：“今兩算得失相反，要令正負以名之，”這就是說，正負數表示的是相反的兩個量，他還進一步闡述了正負的意義：“言負者未必負于少，言正者未必正于多，”即負數的絕對值未必少，正數的絕對值未必大，另外，他又介紹了籌算中表示正負數的兩種方法：一種是用紅籌表正數，黑籌表負數;另一種是用算籌中的正、斜擺法來表示正、負數，這兩種方法，對后世數學的發展都產生了深遠的影響。

（2）簡化線性方程組的解法

《九章算術》中記載了用直除法解線性方程組的方法，但該方法比較麻煩瀏徽在方程章的注釋中，給出了簡化后的直除法，并創立了互乘相消法，例如方程組。

顯然，這種方法與現代解方程的方法是一致的，不過那時用的是籌算，劉徽認為，這種方法可以推廣到解多元方程問題：“以小推大，雖四、五行不異也，”他還進一步指出，在“相消”時，要注意看兩方程首項系數的同異，同則相減，異則相加。

（3）總結出初步的方程理論

劉徽在《九章算術》方程章的基礎上，提出了更為全面的方程理論，劉徽所謂的“程”是程式或關系式的意思，相當于現在的方程，而“方程”則相當于現在的方程組，他說：“二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程，”這就是說：“有兩個所求之物，需列兩個程;有三個所求之物，需列三個程，程的個數必須與所求物的個數一致，諸程并列，恰成一方形，所以叫方程，”這里的“物”，實質上是未知數，只是當時還沒有未知數的概念，定義中的“皆如物數程之”是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則“行之左右無所同存”，共同構成了方程組有唯一組解的條件，若譯成現代數學語言，即方程的個數必須與未知數的個數一致，任意兩個方程的系數不能相同或成比例，劉徽還認識到，當方程組中方程的個數少于所求物的個數時，方程組的解不唯一;如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地擴大或縮小，即“舉率以言之”。

對于方程組的性質，劉徽總結出如下諸條：“令每行為率”，即方程中的各項成比例地擴大或縮小，方程組的解不變;“在每一行中，雖復赤黑異算，無傷”，即方程的各項同時變號，方程組的解不變;“舉率以相減，不害余數之課也，即兩方程的對應項相減，方程組的解不變彳艮明顯，劉徽已經基本掌握了線性方程組的初等變換方法，不過，他沒有想到交換兩個方程位置的情況，因為不進行這種變換亦可順利求出方程組的解。

3.幾何

（1）割圓術

對于開方不盡的問題，劉徽認為求出的位數越多，所得到的值就越接近真值，但永遠不會達到真值，只能根據需要達到“雖有所棄之數，不足言之也”的程度，劉徽正是在這種觀念的基礎上創立十進分數的，他在證明有關體積的定理（如陽馬定理）時也用到了極限，并指出，極限問題“謂以情推，不用籌算”，這就是說研究極限依靠的是推理，而不是計算，

二、劉徽的重差術

重差術是中國古代一種重要的測量方法，用以測量不可到達的距離，劉徽寫出了重差術專著——《海島算經》（即《重差》），他在序言中說：“凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差，”全書只有九道題，但都很有代表性。

例如第一題（譯為今文）：為測量海島，立兩根3丈高的標桿，前后相距1000步，令后桿與前桿對齊，從前桿后退123步，人眼著地看島峰，視線正好過桿頂，從后桿后退127步，人眼著地看島峰，視線也過桿頂，問島高和島離桿的距離各是多少？

按題意畫圖如下：

因公式中用到d（兩桿與島的距離差）和a1-a2兩差之比，所以叫重差術，這是書中最簡單的一題，只需測望二次，對其他的問題往往要測望三次或四次，但原理與本題相同。

如果用三角知識去解答重差問題，其結果也是一樣的，中國傳統數學中無三角，重差術便起著與西方平面三角類似的作用，這是中國數學的特色之一。

三、劉徽的學術思想

劉徽之所以能在數學上取得卓越成就，與他先進的學術思想是分不開的，概括起來說，他的學術思想有如下幾個特點。

1.富于批判精神，劉徽在數學研究中不迷信權威，也不盲目地踩著前人的腳印走，而是有自己的主見，他曾一針見血地指出張衡關于球體積觀點的不正確之處，批評了固守古人“周三徑一”的“踵古”思想，說：“學者踵古，習其謬失，”正是因為具有這種可貴的批判精神，他才在研究《九章算術》時發現了許多問題，通過深入探討，寫出名垂千古的《九章算術注》。

2.注意尋求數學知識內部的聯系，劉徽在《九章算術注》的序言中說：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發其一端而已，”不難看出，他的整個數學研究中都貫穿了這一思想，例如，他把許多平面幾何問題歸為出入相補問題，把許多體積公式的推導歸為劉徽原理的應用問題，把各種比例問題歸為今有術問題，以及用重差術的一般方法解決各種測量問題等，都是這一思想的體現。

3.把數學的邏輯性和直觀性結合起來，劉徽主張“析理以辭，解體用圖”，就是說對問題的理論分析要用明確的語言表達出來，空間圖形的分解情況要用圖形顯示出來，也就是理論和直觀并用，他認為只有這樣才能使數學中的知識、結論、原理等表達形式既簡潔又明白，實際上，他對原書和《九章算術注》中提出的重要數學概念，都給出了明確的定義，他對定理、公式的證明基本上都采取演繹法，推理相當嚴密，例如，他從長方體的體積公式出發，運用極限觀念，證明了陽馬定理，又用陽馬定理證明了棱錐、棱臺的體積公式，然后根據劉徽原理推出圓錐、圓臺的體積公式，都是一環扣一環的，另一方面，劉徽也很注意數學的直觀性，他常借助圖形來證明平面幾何定理，稱為圖驗法;借助立體模型來研究開立方和推導體積公式，稱為棋驗法（劉徽稱特定的立體模型為棋），有時，他還在證明的過程中輔之以剪貼和涂色，總之，他在數學研究中既注意邏輯推理，又注意運用直觀手段，所以他的理論清晰易懂。

劉徽思想敏捷，既提倡推理又主張直觀，他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人，劉徽的工作，不僅對中國古代數學的發展產生了深遠的影響，在世界數學史上也具有極高的地位。