高中物理求極值的方法

陳德煒

摘 要：極值問題是高中物理的一類典型問題，在力學、電學等部分皆有出現。這類問題綜合性強，要求學生在熟練掌握物理概念和物理規律的前提下，又能對其靈活應用，考察學生的理解能力、推理能力、分析綜合能力以及應用數學處理物理問題的能力。因此掌握求物理極值的方法是解決該類問題的重要途徑。

關鍵詞：物理極值問題;數學方法;物理方法

高中物理的極值問題就是某個物理量在變化的過程中會出現極大值或極小值的問題。求極值本來就是一個數學中的常見問題，而物理中的極值問題則需要將物理知識與數學知識進行融合。先利用物理知識找出變化物理量遵循的規律，再利用數學知識求解極值。該類題綜合性較強，且對數理結合能力要求較高，因此對多數學生而言此類問題難度較大，是高中物理教學的一個難點。要想突破此難點，就得掌握求物理極值問題的方法，并加以靈活應用。解決物理極值問題的途徑有兩條：一條是把物理問題轉化為數學問題即求出所需求極值的這一物理量的函數表達式，然后利用數學方法求出極值;另一條是分析物理過程，根據物理規律找出何時出現極值及其滿足的物理條件，再由此條件進行求解。下面通過例題具體介紹兩種求物理極值問題的方法。

一、應用數學方法求極值

例1.如圖所示的電路中，已知電源電動勢E和內阻r，R為滑動變阻器，求此電源的最大輸出功率。

例2.如圖1所示，質量為m的小球a用細線相連并懸掛于O點.現用一輕質彈簧給小球a施加一個拉力F，使整個裝置處于靜止狀態，且Oa與豎直方向夾角為30°，已知彈簧的勁度系數為k，重力加速度為g，求拉力F的最小值。

解法1.正弦定理

解：如圖2所示，利用平行四邊形定則做出細線拉力和彈簧彈力的合力，由平衡條件可知合力與重力等大反向。在力的三角形ΔABC中，由正弦定理可得則由此表達式判斷出，當sinθ=1即θ=90°時，

解法2.圖解法

解：根據平行四邊形定則做出平行四邊形，如圖3所示，可得當彈簧拉力F與細線拉力垂直時，拉力F最小，

二、應用物理方法求極值

例3.如圖所示，一勁度系數為k，原長為l0的輕彈簧下端固定在水平面上，一個質量為m小球從輕彈簧正上方某一高度處由靜止開始自由下落，接觸彈簧后小球繼續向下運動至最低點。求這一過程中小球速度達到最大的位置。

解：通過受力分析可知，小球接觸彈簧以后，剛開始小球重力大于彈簧彈力，小球所受合力向下，根據牛頓第二定律，隨著形變量x的增加，加速度a逐漸減小，故小球先做加速度減小的加速運動。當彈簧彈力大于小球重力以后，同理根據牛頓第二定律，可知小球做加速度增大的減速運動，直到減速至零到達最低點。綜上分析，當小球重力等于彈簧彈力時即加速度為零時，小球速度最大。因此速度最大時有，此時彈簧長度為，即小球運動到離水平面距離為時速度最大。

從此題可以看出，當物體做直線運動時，若速度是連續變化的，則當加速度為零時，速度取極值，也可通過v-t圖像得出此結論，如下圖所示，

甲、乙圖線當斜率（斜率表示加速度）為零時，速度取到極大值和極小值。

例4.如圖所示，用長為L的細線懸掛一質量為m，帶電荷量為+q的小球，將其置于方向

水平向右且大小為E的勻強電場中。現將小球從懸點正下方的A處靜止釋放小球。求小球速度最大時細線拉力與豎直方向的夾角。

解：通過受力分析可知，重力與電場力均為恒力，因此它們的合力也為恒力F。

小球做圓周運動，細線拉力方向始終與速度方向垂直，因此細線拉力不做功，會做功的是恒力F，即W合=WF，恒力F先做正功后做負功，根據動能定理可知，小球動能先增大后減小即速度先增后減。當恒力F與速度方向垂直時，此時恒力F方向與細線拉力共線即合力與速度方向垂直時，速度達到最大。此時夾角滿足。

從此題可以看出，當物體做曲線運動時，當合力方向與速度方向垂直時，速度取極值。

從上述幾道例題可以看出，應用數學方法求物理問題的極值時，關鍵在于要將求極值的對象所滿足的物理規律轉換成數學問題。而應用物理方法求極值問題時，必須在弄清題意的條件下靈活地利用物理規律分析判斷出取極值的物理條件，對學生應用物理知識分析問題的要求更高。

參考文獻

[1]孫秀娥.高考難點探究—高中物理極值問題求解方法研究[J]。新課程導學.2011（11）

[2]高等數學[M].北京：高等教育出版社.2002