例談變式訓練在高中數學解題中的運用

楊海峰

摘 要：變式訓練在高中解題練習中有著重要的意義。學生通過變式訓練可以發現數學問題的本質屬性，并掌握相應的解題規律與解題方法，更好地理解抽象的數學知識，促進自身解題能力與邏輯推理能力的提升，并逐漸養成多樣化的解題思維。本文通過教學案例就變式訓練在高中解題練習中的應用進行了論述。

關鍵詞：變式訓練;高中解題;應用例談

變式訓練在高中解題練習中有著重要的意義。學生通過變式訓練可以發現數學問題的本質屬性，并掌握相應的解題規律與解題方法，更好地理解抽象的數學知識，促進自身解題能力與邏輯推理能力的提升，并逐漸養成多樣化的解題思維。

一、導言

變式訓練是一種思維訓練的有效模式，它是由利用構造一系列變式的方法來創設暴露思維障礙的情境，并展示解決問題的思維過程，數學問題的結構和演變過程以及知識發生、發展過程。在我們高中數學的學習中，不少學生都存在著學習數學公式定理時覺得簡單，解答標準題型時也能游刃有余，但是當標準題型變換了形式卻往往不知該從哪里下手。這種現象的本質在于學生并沒有把自身所學的數學知識融會貫通。因此，在高中數學教學中，教師有必要對學生進行變式訓練，通過改變問題和題設等方式來向學生展示問題的解題思路以及知識的形成和發展過程。學生們通過變式訓練可以實現更高層次的發現，在進行探究性的活動時也能夠靈活運用已有的數學知識，從而認識問題的本質，并進一步認識變化中的不變關系。變式訓練的主要作用在于培養學生發散、遷移知識的能力以及凝聚學生的注意力。變式訓練可以讓不同的學生在數學中都能得到不同的發展，它通過不同層次與不同難度來使學習能力處于不同數學階段的學生都各有所得，激發學生的學習熱情并使學生感受到成功的樂趣。

二、數學解題中變式訓練的運用案例

變式題的本質在于增加對標準題的干擾因素，并要求學生在求解時再轉化為標準題的模式，從而還原問題的本質并逐步擺脫干擾因素。變式訓練在高中數學解題中的運用主要有以下三大類：

（一）表述改變而本質不變

學生在解題時遇到阻礙的根本原因在于不知道題目考察的是哪一個知識點，無法把握題目的本質，因此無法順利解答題目。所以，在對學生進行變式訓練時，可以不改變題目本質的情況下，盡可能多方位地改變題目表述的方式，從而幫助學生更快、更好地把握題目的本質，盡快找出問題解決的突破口，從而迅速解決問題。

例一：經過點A（-3，0）和點B（3，0）的動點P與AB兩點組成的∠APB為直角，求動點P的軌跡方程。

例一是一個標準題型，我們對題目進行分析，就可以發現例一的本質在于求圓的方程。有些學生無法準確把握此類題的本質，為了提高這些同學探尋此類題目本質的能力，教師就可以對這個題目進行如下幾種變式：

變式一：已知A、B兩點的坐標分別是（-3，0）和（3，0），動點P與兩點連成的直線PA與PB相互垂直，求點P的軌跡方程。

變式二：動直線L1經過固定點A（-3，0），而動直線L2經過固定點B（3，0），L1⊥L2，求垂足P點的軌跡方程。

變式一與變式二和例一的問題本質是一樣的，只是表述方式有所改變。通過這樣的變式訓練，可以提高學生的數學思維能力，幫助學生快速把握到此類題目的本質，從而順利的解決此類問題。

（二）問題改變而題設不變

在高中數學的解題訓練中，為了開拓學生的思維，引導學生從不同的角度解決問題、分析問題，教師對學生進行變式訓練時還可以變化題目的問題而不改變題設來提高學生的解題能力。在實際的變式訓練中，教師可以通過這種變式方法，引導學生對此類題目進行深入分析，適當增加問題的難度，對原題目進行變式，從而掌握此類題相應的解題思路，并歸納解決此類問題的方法。

例二：P是橢圓=25上的一點，且P點與橢圓兩個焦點的連線互相垂直，求P點的軌跡方程。

針對此類比較常見的與橢圓相關的題型，教師可以對其進行一定的變形，從而開拓學生的思維。

變式一：橢圓=25上的兩個焦點分別是A和B，點P是橢圓上的一點，當線段PA與PB形成一個鈍角（或銳角）時，求點P的取值范圍。

例二經過這樣的變式練習之后，雖然題設并沒有改變，但是問題的深度卻增加了很多，教師就可以根據常見的直角求解方法，引導學生發散自己的思維，解答在鈍角或銳角情況下點P的取值范圍，從而有效的培養學生的思維能力。

（三）同時改變問題與題設

在對學生進行變式的過程中，教師可以進一步的增加變式的難度。對于題目給定的知識點，教師可以在改變題設的同時，也對問題進行一定的調整。我們以例三及其變式來對同時改變問題與題設的變式訓練進行說明。

例三：已知橢圓方程為=1，點A是橢圓上的一點，且點A與F1及F2兩個焦點形成的連線構成直角，求點A的取值范圍。

變式一：已經雙曲線方程為=1，雙曲線上存在一個點A，使得點A與兩焦點形成的直線相互構成直角，求點A與X軸的垂直距離。

例三的變式同時改變了問題與題設，使得學生的潛力進一步發揮出來，大大提高了學生的數學思維分析能力。教師通過此類形式的變式訓練可以培養學生的探究能力，改變學生的思維定勢，從而提高學生的數學解題能力。

三、結語

高中數學的知識大多數都是系統性的，因此，很多問題和題設也都具有同源性。教師在利用變式訓練來培養學生的解題能力時，要多搜集變式的題源，優化教學設計，有意識的引導學生變化中探究不變的本質，在不變的本質中發現變化的規律，從而激發學生的數學學習興趣，使學生體會到數學學習的樂趣，并充分體現出新課程的教學理念，提升學生的思維能力，挖掘學生的潛能，培養學生的創新能力。

參考文獻

[1]連云港市“MA”課題組，“發展學生數學思想，提高學生數學素養”教學實驗研究報告[J].課程·教材·教法，1997，（8）：35-39.

[2]王子興，論數學素養[J].數學通報，2002，（1）：6.

[3]鄭強，論數學素養及其在數學課程中的價值體現[J].曲阜師范大學學報，2005，（2）：127.