將難的內容教得簡單在簡單的基礎上學得有深度

梁大軍

摘 要：本節課的教學內容包括一個概念、三個等價關系、一個定理.在了解方程的根和函數零點的關系的基礎上，運用數形結合的思想討論函數零點的存在性定理，是本節課的難點所在，通過問題串的形式，將難點分解成一個個“小問題”，將函數的“圖象特征”轉化為“代數表示”，概括出定理.

關鍵詞：方程的根;函數零點;數形結合;教學反思

2019年10月，“南京市協同發展共同體”東片區舉辦了一次教學研討活動，活動由南京市棲霞中學承辦，作為青年教師，我有幸參加了此次活動，并在本班上了這節課——蘇教版必修1第三章3.4.1“函數的零點”，通過這次活動，筆者記錄了一些粗淺認識，反思了過程，與大家分享和交流.

一、基于認知，建立動力的生成點

章建躍博士提出，上好一堂課，數學教師必須要理解數學、理解學生、理解教學，特別是，“內容所反映的數學思想方法”的理解水平決定了理解數學的高度，同時也決定了教學所能達到的水平和效果.

教材首先是在學習函數的性質基礎上，了解方程的根和函數零點的關系，揭示了數與形、方程與函數之間的本質聯系.然后運用數形結合的思想討論函數零點的存在性定理，這也是本節課的難點所在，其目的也是通過函數的零點來研究方程的根，進一步突出函數思想的應用價值，也為用二分法求方程的近似解做好思想上和方法上的準備.

二、巧設問題，激活學生的思維

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始的。”在解決數學問題的過程中，會形成和發展數學知識、思想、方法和觀念，問題可謂是“數學的心臟”.有了問題，才能喚醒學生的好奇心和求知欲，才能激活學生的思維，學生的探究活動才有載體.

筆者將書上例二的題目稍作修改，將“判斷函數f（x）=x2-2x-1在區間（2，3）上是否存在零點.”中的區間去掉，改為“判斷函數f（x）=x2-2x-1是否存在零點.”從方程的角度學生可以求出根的大小，

問題1：方程的根在什么區間內？（限定k到k+1的整數區間內）讓學生自己生成區間，

問題2：從宏觀上看二次函數的圖象（先不給單位刻度，學生回答看不出后再給出單位刻度），給學生圖象上的直觀感受，然后研究大根所在的區間（2，3），并將圖象放大，

問題3：你能講區間（2，3）縮小嗎？讓學生直觀感受只要在零點兩側各取一個點，就能使零點落在區間內，

問題4：從圖象上看，（2，3）這一段圖象穿過x軸，如何用代數形式來描述呢？這個問題實際上就揭示了函數零點具有“形”和“數”兩方面的含義，有學生回答f（2）>0，f（3）<0，接著通過零點的數和形兩個方面的含義引導學生說出零點是y=0時x的值，所以得出x是分界點，y=0是分界線（函數值正負的分界線），由此再得到區間端點函數值異號，即再由（2，3）的區間推廣到（a，b），由特殊到一般，得到f（a）f（b）<0，即零點存在性定理的條件，在探究的過程中讓學生充分體會了數形結合方法的應用

通過分組討論、合作探究，通過問題串將本節的難點“零點存在性定理”分拆成一個個能夠解決的“小問題”，從而將函數的“圖象特征”轉化為“代數表示”，歸納概括出零點存在性定理.

函數的零點具有“形”和“數”兩方面的含義，這就要求我們要從“形”和“數”兩個不同的角度來加以認識和思考，而本節課就是要引導學生用函數的觀點看方程，方程的根實則就是函數視野下的零點，讓學生經歷從函數圖象特征到代數表示即從“形”和“數”的認識過程.

三、適時追問，引導學生深度學習

理性精神是數學文化的核心，從紛繁雜亂到理出頭緒，從直觀感覺到說出道理，都是數學理性精神的體現.

學生回答問題4說，f（2）到f（3），從負到正，并且函數是單調的，所以穿過x軸，這時我追問：“單調說明穿過幾次？”，“如果不單調可以穿過幾次？”這樣的追問可以讓學生從圖中直觀感受從單調的穿過一次到不單調的可以穿過n次，這樣至少有一個零點，也就是存在零點，存在這個詞從這里讓學生得出會更加自然和順暢，也會為后面的辨析題提供幫助.

幾何直觀是理性認識的基礎，教學時應充分利用好函數圖象，抓住課堂上學生的表述進行合理有效的追問，引導學生對待簡單問題進行深度思考，強化問題的導向價值，努力體現數形結合思想，培養學生用函數的思想去思考和解決問題.

四、情境總結，加深記憶理解

本節課的課堂教學體現了以問題為主線、探究為核心、培養能力為目的的教學理念，教學中注重對學生的啟發和引導，注重師生互動，努力體現學生在課堂探究活動中的主體地位.

在課堂小結中，先由學生口頭總結，再由教師歸納總結，通過一首打油詩：“函數零點方程根，形數本是同根生，是否存在端點判，函數連續要記清。”讓學生對本堂課的學習內容印象更深刻.

參考文獻

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[4] 普通高中課程標準實驗教科書必修1.江蘇鳳凰教育出版社.