排列組合中的涂色問(wèn)題

郭曉丹

摘要：排列組合問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，該部分知識(shí)方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，學(xué)生在“計(jì)數(shù)”時(shí)經(jīng)常或者“重”或者“漏”，一步走錯(cuò)，全盤(pán)皆輸。不容易得分。但是，高考中經(jīng)常會(huì)出一個(gè)選擇題或者填空題，因此應(yīng)該引起重視。本文就對(duì)排列組合中的涂色問(wèn)題進(jìn)行研究，希望對(duì)相關(guān)工作者有所幫助。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);排列組合;涂色問(wèn)題

排列組合中的涂色問(wèn)題新穎靈活，曾經(jīng)2003年全國(guó)高考題中出現(xiàn)過(guò)，其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。對(duì)學(xué)生分步計(jì)數(shù)，分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用能力要求很高，有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題與觀察問(wèn)題的能力，鑒于此，我專門(mén)拿出一節(jié)課做了涂色問(wèn)題的專題，有一點(diǎn)自己的體會(huì)。

本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容是如下四個(gè)題目

一、現(xiàn)有5種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有多少種？

解析：先給A號(hào)區(qū)域涂色有5種方法，再給B號(hào)涂色有4種方法，接著給C號(hào)涂色方法有3種，由于D號(hào)與B，C相鄰，因此D號(hào)有3種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有5×4×3×3=180

二、用5種不同的顏色給圖中標(biāo)①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？

解析：先給①號(hào)區(qū)域涂色有5種方法，再給②號(hào)涂色有4種方法，接著給③號(hào)涂色方法有3種，由于④號(hào)與①、②不相鄰，因此④號(hào)有4種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有5×4×3×4=240

這兩個(gè)題目學(xué)生略加思考，很快得到了正確的答案。

三、用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有

這道題我本來(lái)的想法是：先給A號(hào)區(qū)域涂色有5種方法，再給B號(hào)涂色有4種方法，接著給C號(hào)涂色方法有3種，由于D號(hào)與B，C相鄰，因此D號(hào)有3種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有5×4×3×3=180

事實(shí)上與（2）完全一樣?？墒怯蓪W(xué)生起來(lái)解時(shí)出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題：：先給A號(hào)區(qū)域涂色有5種方法，再給B號(hào)涂色有4種方法，接著給D號(hào)涂色，因?yàn)橹慌cB相鄰，所以4種，最后涂C，因?yàn)榕cABD都相鄰，方法有2種，結(jié)果是5×4×4×2=160種，顯然不一樣。

學(xué)生的興趣明顯被調(diào)動(dòng)起來(lái)，我趁機(jī)讓學(xué)生自己討論探究，大家暢所欲言，終于得到正確的解決方法：先給A號(hào)區(qū)域涂色有5種方法，再給B號(hào)涂色有4種方法，接著給D號(hào)涂色，雖然D可以涂除B之外的四種顏色，但是與A是否相同影響了C涂顏色的種數(shù)，因此應(yīng)該先分類

第一類，D與A相同，這時(shí)候 C可以涂三種（除AB外）于是5×4×3=60

第二類：D與A不同，這時(shí)D可以涂3種，C只能涂?jī)煞N了，于是5×4×3×2=120

答案依然是 60+120=180

四、用5種不同的顏色給圖中所給出的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰（有公共邊）的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？

本題我的原意還是希望學(xué)生用上述辦法依次分析，分①與④相同和不相同兩類。大部分學(xué)生確實(shí)也是這樣做的。但是也有同學(xué)起來(lái)說(shuō)可把問(wèn)題分為三類：四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為A45;有且僅兩個(gè)區(qū)域相同的顏色，即只有一組對(duì)角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為2C15 A24;兩組對(duì)角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為A25，因此，所求的涂法種數(shù)為，也是正確的，大家很贊成。

相同的題目換一種思維角度有不同的方法，但結(jié)果都是一樣，這就是數(shù)學(xué)的魅力，學(xué)生的潛力是無(wú)窮的，我們應(yīng)該把課堂還給學(xué)生，老師一味的講，只是把自己的思維強(qiáng)加給學(xué)生，限制了學(xué)生思維的發(fā)展。