一道高考波動試題的多解與啟示

許冬保

摘?要：2018年高考全國理綜Ⅰ卷波動試題有效地考查了考生的知識、能力與科學素養.試題難度中等，但第2問難度較大.在高三復習中，該類問題成為困擾廣大考生的難點之一.對試題進行多視角分析，有利于發展學生的科學思維能力.教學啟示有，夯實基礎知識，發展應用水平;重視科學思維，提高思維能力;增強實踐意識，提升科學素養.

關鍵詞：試題;波動圖像;振動圖像;波動方程;啟示

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0083-02

題目?（2018年高考全國理綜Ⅰ卷）一列簡諧橫波在t=13s時的波形圖如圖1所示，P、Q是介質中的兩個質點.圖2是質點Q的振動圖像.求

（1）波速及波的傳播方向;

（2）質點Q的平衡位置的x坐標.

一、試題解析

（1）由圖1可以看出，該波的波長為λ=36cm;由圖2可以看出，周期為T=2s.因此，波速為v=λT=18cm/s.

由圖2知，當t=13s時，Q點向y軸正方向運動，結合圖1可得，波沿x軸負方向傳播.

以下對第（2）問的解答給出不同的解法.

解法1?分析綜合法（國家考試中心解答）

（2）設質點P、Q平衡位置的x坐標分別為xP、xQ.由圖1知，x=0處y=-A2=Asin（-30°），因此 xP=30°360°λ=3cm.

由圖2知，在t=0時Q點處于平衡位置，經Δt=13s，其振動狀態向x軸負方向傳播至P點處，于是，有

xQ-xP=vΔt=6cm

綜上可得，質點Q的平衡位置的x坐標為 xQ=9cm.

解法2?作圖分析法

作出t=0時刻的波動圖像，如圖3中虛線波形.由圖可知，質點Q所在平衡位置至坐標原點的距離恰為波長λ的1/4.則xQ=9cm.解法3?長度測量法

根據圖1中半個波長的長度為18cm，分別用直尺測量半個波長的實際長度及質點Q的平衡位置至坐標原點之間的長度.由比例關系得到 xQ=9cm.

解法4?波動方程求解（取Q點作為波源質點）

參考圖2，當t=0時，質點Q的振動方向沿y軸正方向，且位移等于0.寫出質點Q的振動方程，即

y=Asinωt，

則沿x軸負方向傳播的簡諧橫波在t時刻的波動方程為

y=Asinωt-xQ-xv

因此，當x=0時，有 y=-A2，即

-A2=Asinωt-xQv

式中 ω=2πT=πrad/s，t=13s，v=18cm/s.

代入已知數據，得

ωt-xQv=-π6

解得 xQ=9cm.

解法5?波動方程求解（取坐標原點作為波源質點）取坐標原點處的質點為波源.則沿x軸負方向傳播的簡諧橫波在t時刻的波動方程（用余弦函數表示）為

y=Acosω（t+xv）+φ0

式中φ0為初相位.ω=2πT=πrad/s，v=18cm/s.

令x=0，t=13s，則y=-A2.因此，有-A2=Acosωt+φ0，即

cosωt+φ0=-12（1）

結合圖2，對于質點Q，當t=0時，有 0=AcosωxQv+φ0，即

cosωxQv+φ0=0（2）

當t=13s時，有 yQ=Acosωt+xQv+φ0.

由圖2知，Q的振動方程yQ=Asinωt.當t=13s時，有 yQ=Asinπ·13=32A.于是，得到

32A=Acosω（t+xQv）+φ0

即

cosω（t+xQv）+φ0=32（3）

聯立（1）、（2）、（3）式中的任意2個表達式，結合圖1中Q的位置，均可解得

φ0=π;xQ=9cm

說明：關于初相位φ0也可以通過振動方程與速度方程來確定.

對于原點處的質點，振動方程為 y=Acosωt+φ0，速度為 v=dydt=-Aωsinωt+φ0.由圖1知，y<0，v>0，則有 cosωt+φ0<0，sinωt+φ0<0，角度應處于第3象限內.于是可得

-A2=Acosπ·13+φ0，因此 φ0=π.根據（2）式或（3）式可解得 xQ=9cm.

二、教學啟示

這是一道選考試題，抽樣難度為0.45，是一道中等難度的試題.如果僅分析試題的第2問，難度是比較大的，在高三復習中，一直以來此類問題困擾著廣大考生.那么試題難在哪里？帶給我們有哪些啟示呢？

1.夯實基礎知識，發展應用水平

從知識角度來看，波動可視為振動的集合，描述的是某一時刻介質質點的振動情況，波長反映了波在空間傳播的周期性;振動描述一個質點在各個不同時刻的運動情況，周期反映了質點振動的周期性.試題將振動圖像與波動圖像結合起來，考查振動與波動中的核心知識.通過振動圖像可以得到：周期T=2s、t=13s時刻質點的振動方向沿y軸正方向、質點從平衡位置到圖1所示的位置歷時13s.通過波動圖像可以得到：波長λ=36cm、坐標原點處質點及P質點在t=13s時刻振動的位移.試題有效地考查了考生對于振動與波動中有關知識的掌握程度與應用水平.

2.重視科學思維，提高思維能力

物理觀念的形成和發展需要在物理知識學習及應用的過程中才能逐步形成，從相互作用和能量的角度認識機械振動與機械波，了解波動的特征，有利于科學思維能力及科學素養的提升.在波動問題的學習中，要重視對質點、介質、簡諧運動、平面簡諧波等物理模型的建構，認識建構模型是一種重要的科學思維方法，同時也是發展和提高學生科學思維能力的重要途徑.試題要求在認識振動與波動模型的基礎上，從時間與空間、從個體與整體、從靜態與動態等視角來認識波動的形成過程，來理解振動與波動的關系.

3.增強實踐意識，提升科學素養

試題不是實驗題，但是，認真繪圖，細致測量等均有利于提高學生的科學探究能力、增強實踐意識、養成科學態度，這些正是物理核心素養的重要內容.雖然繪圖、測量未必得到準確的結果，但仍然提供了一種解決問題的方式，擬或對定量分析帶來暗示或某種幫助，從而促進問題的解決.這也是物理學習中不可或缺的能力與素養.

用波動方程解題，似乎超越了考試大綱的約束，對多數學生而言是不做要求的，但對于參加國家強基計劃招生考試的學生，適當擴大知識面是十分必要的，對綜合素養的提高無疑是大有益處的.

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程力學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005：338-339.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：50-51.

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