關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)改革探索的幾點想法

沈炳良　鄒曉光　劉玲

摘要：線性代數(shù)是高等學(xué)校經(jīng)管類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，相比于高等數(shù)學(xué)與概率論，它的抽象性更強(qiáng)，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差（高考數(shù)學(xué)平均分約為90分）的我院學(xué)生而言，學(xué)習(xí)這門課還是比較吃力的，學(xué)習(xí)的主動性也較差。為此就如何有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是一個值得探討的問題。本文結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，給出五點建議。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);教學(xué)改革;學(xué)習(xí)興趣;總攬全局;以詩入文

1引言

線性代數(shù)是高等院校理工類和經(jīng)管類各專業(yè)學(xué)生的重要基礎(chǔ)課程。本課程主要內(nèi)容為行列式、矩陣、線性方程組、向量、二次型、特征值與特征向量等，其概念、理論和方法已廣泛地滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域。尤其是計算機(jī)科學(xué)日益發(fā)展的今天，許多非線性問題均可以通過線性化解決，線性代數(shù)日益顯示出其重要性和實用性。通過該課程的學(xué)習(xí)，能有效地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰统橄笏季S能力，并對后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和數(shù)量分析能力的培養(yǎng)起著非常重要的作用。但線性代數(shù)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，對于以文科生居多、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱的經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生而言，在學(xué)習(xí)這門課程時普遍感到有一定的難度。本文就如何有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效果，結(jié)合自身的實際教學(xué)經(jīng)驗，給出如下五點建議。

2主要內(nèi)容

2.1理清來龍去脈，讓學(xué)生知曉自己在學(xué)什么

可從課程名稱《線性代數(shù)》出發(fā)，問學(xué)生代數(shù)是什么意思，線性是什么意思。著重介紹下代數(shù)的歷史與框架，把學(xué)生中小學(xué)學(xué)過的代數(shù)知識串聯(lián)起來，使學(xué)生對代數(shù)的歷史有個整體的了解。代數(shù)的字面意思為用字母代替數(shù)，它的主要任務(wù)是解方程。我們可以從最簡單的一元一次方程開始，從元和次兩方面展開，從古代巴比倫一直講到費(fèi)馬大定理及哥德巴赫猜想，讓學(xué)生感受到代數(shù)的內(nèi)在美。

2.2講請概念，簡化證明

線性代數(shù)的概念比較多，相對而言比高等數(shù)學(xué)要抽象一些。線性代數(shù)的主要難點幾乎都在概念上而不在計算上，事實上只要會小學(xué)的加減乘除四則運(yùn)算就基本夠用了。比如通常的線性代數(shù)教材第一章為行列式，從二三階行列式講起，再到n階行列式。學(xué)生最大的困惑是這個概念怎么來的，為什么要這樣定義。我們可以從它的幾何意義出發(fā)來闡釋：二階行列式的幾何意義就是由行列式的向量所張成的平行四邊形的有向面積;三階行列式是其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積;而n階行列式可看成是其行或列向量所構(gòu)成的n維超平行多面體的有向體積。然而正因為n維超平行多面體的有向體積很難描繪出來，才有了我們課本上n階行列式的定義。證明對于學(xué)生來說更加難一些，大多數(shù)同學(xué)只能勉強(qiáng)看懂，但不會變通。究其原因，是對其證明思路理解得不夠透徹。那么如何來解決這個問題呢？事實上，很多證明并不是數(shù)學(xué)家們憑空想出來的，它是有一個過程的，這個過程可理解為實踐—理論—再實踐的過程。我們可以從滿足定理的幾個例子出發(fā)，分析它們?nèi)绾螐臈l件一步步得到結(jié)論，再將其抽象化，一般就能得到其證明方法或思路。

2.3注意各章節(jié)間的聯(lián)系，做到融會貫通

通常來說，一門課程各章節(jié)之間應(yīng)是緊密聯(lián)系的，如何把握好章節(jié)間的聯(lián)動是很重要的。我們以n階矩陣A可逆為例，可以有如下16個等價條件：

（1） 為可逆矩陣（2） （3）

（4） 的行（列）向量組線性無關(guān)（5） 的行（列）向量組為 的基

（6） 為 的兩組基下的過渡矩陣（7） 的解空間的維數(shù)為0

（8） 的行（列）向量組的秩為 （9） ，其中 為初等矩陣

（10） 可經(jīng)初等變換化為單位矩陣 （11） 與 等價

（12） 只有零解（13） 有唯一解，對任意

（14） 的伴隨矩陣 為可逆矩陣（15） 的特征值均不為零

（16） 為正定矩陣

從中我們可以看出線性代數(shù)章節(jié)間的聯(lián)系性是很強(qiáng)的。

2.4注重應(yīng)用，加強(qiáng)與其他專業(yè)和學(xué)科的聯(lián)系

首先要讓學(xué)生相信線性代數(shù)是有用的，可將1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎列昂惕夫的工作：將線性代數(shù)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的工作及谷歌搜索背后的線性代數(shù)（可參考KurtBryanandTenyaLeise，The25，000，000，000Eigenvector：ThelinearalgebrabehindGoogle.SIAM.Review48（3），2006，569-581）作為案例說明。其次，要加強(qiáng)與其他學(xué)科的聯(lián)系，需要任課教師與相應(yīng)專業(yè)教師建立聯(lián)系。針對不同專業(yè)的學(xué)生，可以用一次課的時間講授（也可在平時上課時進(jìn)行穿插）線性代數(shù)在其專業(yè)課中的作用，如何運(yùn)用線性代數(shù)的知識去解決專業(yè)課中的一些問題，讓學(xué)生覺得這門課比較實用，從而增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)積極性。這就要求任課老師花比較多的時間去搜集相關(guān)資料與案例，也需要老師與學(xué)生進(jìn)行面對面交流與合作，讓學(xué)生也參與其中，從而達(dá)到學(xué)好這門課的目的。

2.5總攬全局，從宏觀上理解線性代數(shù)

線性代數(shù)是一門概念眾多，內(nèi)容抽象，邏輯性強(qiáng)的課程。因此在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)總攬全局，從宏觀上理解線性代數(shù)是很重要的。線性代數(shù)最主要的研究對象和方法可以用八個字來概括：“空間為體，矩陣為用”[4]。要抓住一條線：以矩陣為主線;掌握一方法：初等行變換方法。線性代數(shù)可以認(rèn)為是n維空間的解析幾何，它的很多概念是平面（2維）與空間（3維）中概念的推廣[4]。唯有如此，才能更好的理解線性代數(shù)并學(xué)好它。

3小結(jié)

總之，老師要上好這門課，需要在教學(xué)方法上下功夫;學(xué)生要學(xué)好這門課，需要在課余時間里下功夫。要做到教學(xué)相長，相得益彰，才會有一個好的教學(xué)效果。最后，我們引用一首小詩來結(jié)束此文：

矩陣[1]（作者：東南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院張小向）

凡物皆數(shù)千古傳，數(shù)系幾度被拓展。

矩陣代數(shù)為哪般？莫過集成數(shù)與算。

加減乘除尚簡單，矩陣乘除非等閑。

深究子式可得秩，初等變換不變量。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳建龍、周建華、張小向、韓瑞珠、周后型編.線性代數(shù)（第二版）[M].科學(xué)出版社，2016年6月.

[2]黃青鶴，應(yīng)志領(lǐng).提高線性代數(shù)課堂教學(xué)有效性策略研究[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報，2013，35（3）：130-132.

[3]郝志峰.數(shù)學(xué)文化融入線性代數(shù)教學(xué)的探索[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（5）：8.

[4]李尚志.線性代數(shù)教學(xué)改革漫談[J].教育與現(xiàn)代化，2004（1）：3-6.

作者簡介：

沈炳良（1981.11-），男，漢族，浙江德清人，上海財經(jīng)大學(xué)浙江學(xué)院，理學(xué)博士，副教授，從事代數(shù)學(xué)研究。

鄒曉光（1979.6-），男，漢族，浙江金華人，上海財經(jīng)大學(xué)浙江學(xué)院，理學(xué)碩士，講師，從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)學(xué)教育研究。

劉玲（1982.5-），女，漢族，江蘇如皋人，浙江師范大學(xué)，理學(xué)博士，講師，從事代數(shù)學(xué)研究。

基金項目：

浙江省高等教育“十三五”第一批教學(xué)改革研究項目（jg20180453）;浙江省高等教育“十三五”第二批教學(xué)改革研究項目（jg20190593）;浙江師范大學(xué)校級一般青年教師教改項目—基于師范專業(yè)認(rèn)證的高等代數(shù)教學(xué)改革。