分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用

李偉

【摘 ? ?要】分類討論思想是高中數(shù)學思想方法中比較重要的一種，它主要是一種數(shù)學思想和邏輯方法，為了更好地教學數(shù)學，將數(shù)學題進行分類歸整，針對不同題型采取不同方法解答，最后得出答案。本篇文章從分類討論思想的概念、對解題的具體應用、使用意義三方面來對其進行研究和探討。

【關鍵詞】高中數(shù)學 ?分類討論思想 ?應用

中圖分類號：G4 ? ? 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2020.07.011

高中數(shù)學作為高考的重要科目，解題方法在教師教學中尤其凸顯，函數(shù)題、證明題、求值題、幾何題，怎樣運用現(xiàn)有的條件推理出答案，是教師教學的重點。在新課改后高考數(shù)學偏向于對學生邏輯思維和解題方法的考察，不再是書本上常規(guī)例題的延伸，所以分類討論思想已成為高中數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，教師對分類討論思想應該著重講述，下面從分類討論思想的概念引入，重點講解在解題中的應用及應用的現(xiàn)實意義。

一、分類討論思想的概念

分類討論思想是指將研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類、若干問題進行一一解決，然后再逐一研究的思想方法。其中，分類討論思想應該遵循每級分類按同一標準進行、分類應逐級進行、同級互斥、不得越級的原則，“每級分類按同一標準進行”是將研究的問題按照一樣的標準分成若干類、若干小問題，“分類應逐級進行”是將上一步驟分成的問題從大到小按次序解答，“不得越級”也是將上一級分類的問題從簡單的問題到復雜的問題，不得越級進行，另外，分類討論的步驟應先明確討論的對象，再明確討論的標準，逐類得到篩選結果，最后得出結論，所以教師在講課時必須嚴格按照步驟進行，否則分類討論思想的作用就發(fā)揮不大。在高中數(shù)學分類討論思想中，可以分為數(shù)與代數(shù)、幾何與其他這三類對象，這三類對象中數(shù)與代數(shù)又是分類對象的重點。

二、分類討論思想在數(shù)學解題中的具體應用

（一）在不等式中的應用

不等式是高中教學選修課必修內容，占高考總分數(shù)的0.06%，雖然占比較少，但是在選做題中是占10分的。教師在不等式的授課過程中，分類討論應作為不等式章節(jié)講解的主要方法，根據(jù)不等式的特性，對同一道題有不同的討論方式。教師在教不等式這節(jié)內容時，要時刻貫穿分類討論思想在解題中的有利作用，讓學生在做題一遇到不等式題型時，就要產生用分類討論方法的想法。

（二）在三角函數(shù)中的應用

三角函數(shù)是高考數(shù)學的重難點，許多學生對函數(shù)有著莫名的害怕，認為函數(shù)是高中內容最難學的部分，函數(shù)確實是最難的，但是三角函數(shù)又是函數(shù)中比較簡單的一種，它可以借用圖像來分析理解，比起單純的函數(shù)來說，三角函數(shù)變得不那么難。教師在教授三角函數(shù)時，可以先將典型例題進行講解，等學生對三角函數(shù)有個初步理解時，就深入分析三角函數(shù)在解題時要用到的解題方法，其中角度問題就是三角函數(shù)中的難點問題。根據(jù)角度的大小對答案進行差別討論，如果是銳角三角形得到的答案應該要什么前提條件，鈍角三角形和直角三角形時又需要什么前提條件，當為直角時算式會不會不成立等等。分類討論在三角函數(shù)角度問題中是比較重要的一種解題方法，教師在對學生講解時，要注意方法是否運用恰當，例如，出題者是想考察三角函數(shù)的性質，學生理解為考察三角函數(shù)的定義，牛頭不對馬嘴，從一開始就將方法運用錯誤的話，那么這道題將必錯無疑，所以，教師就要將分類討論這種方法的適用題型和情況講解清楚，告訴學生不是每一種題型都會運用到。

（三）在幾何數(shù)學中的應用

幾何數(shù)學是空間想象能力不好的學生的致命題，許多學生面對幾何題都是無從下手，不知怎么開始。教師經常會講：“從題目已知條件中可以知道什么，推出什么，題目要求什么，需要什么”，將已知條件標在圖上，通過已知條件推出相關結論，層層深入，最后只選擇需要的條件，就是如此將大問題分成一個個小問題，將小問題一一解決歸納去解決大問題，從易到難，級別分明，這就是分類討論思想的原則。還有，教師要著重培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，從這一步驟怎么推到下一步驟，最后怎么將得出的條件綜合在一起寫出條理清晰的解題步驟，這些都是解決幾何題所需的基本條件，如果學生不具備這些條件，分類探討方法也就發(fā)揮不了實際作用。

三、分類討論思想對高中數(shù)學的現(xiàn)實意義

（一）幫助學生樹立嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力

學生在應用分類討論思想解題的過程中，增強了學生的數(shù)學邏輯思維能力，促進了學生對數(shù)學題型分類的把握和試題立意考察的了解，并且在以后的數(shù)學學習中，無論是函數(shù)、幾何、應用還是證明，都可以輕松嚴謹?shù)貙Υ?，面對問題解決問題，從頭到尾，從上到下，步步深入，步步思考，并尋找最佳的解題方案。此外，還對學生的大腦具有開發(fā)的作用，在面對意外事情時，可以沉著冷靜，邏輯嚴明尋找解決問題的辦法。

（二）幫助教師創(chuàng)新不同的解題方法

分類討論思想廣泛應用在數(shù)學教學中，學生在利用分類討論思想解題的過程中，可能會根據(jù)自身的解題思路開發(fā)新的解題方法和解題方案，教師在授課的同時，應該把握學生的解題思路，觀察與原本的分類討論方法有何出處，如果是新的方法，及時掌握和綜合應用到解題中去。另外，教師還可以將分類討論思想運用在上課中，根據(jù)不同的授課內容制定不同的授課方法，將創(chuàng)新的授課方法融入到實際解題中，潛意識中讓學生了解分類討論思想在解題中的重要性。

（三）幫助數(shù)學題型的創(chuàng)新和開發(fā)

利用分類探討思想在數(shù)學題中只適合那幾種題型，具有嚴重的局限性，學生一直練習做那幾種題型，對學生數(shù)學成績的提升沒有太大作用，相反，教師和編題人利用分類討論思想改革題型，發(fā)明新題目，新類型，讓分類討論能夠更多地運用在不同題型中，如此一來，教師的教學內容得到了創(chuàng)新，數(shù)學質量也得到了提升，學生練習的題型增多，對學生高考的利處就越大。

綜上所述，分類討論思想是高中數(shù)學解題的重要思想，教師應該將此思想廣泛合理地運用在數(shù)學不等式、三角函數(shù)、幾何中，但是必須注意的是，在運用分類討論思想時不要盲目地進行分類討論，一種題型對應一種解題方法。此外，分類討論思想對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、創(chuàng)新能力、嚴謹態(tài)度和分析實際問題都有很大幫助，并在數(shù)學教學的各個階段都起著非常重要的作用。

參考文獻

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