統計學實驗課的教學改革探索——基于小型建模課題的實證教學

葛旸 潘鑫 李純

摘? 要：在統計學課程的教學中，實驗課兼具理論性和實踐性，對于科技創新人才的培養有著重要意義。我們從科研反哺教學的理念出發，對統計學的知識結構、科研工作者的內在素質和科學探索的自然過程進行再思考，提出了一套基于小型建模課題的實驗課教學方案和相應的學習評價體系，并通過實證教學對課程改革的效果進行了分析。

關鍵詞：統計學實驗課;教學改革;小型建模課題;實證教學;科研反哺教學

中圖分類號：G642? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）25-0128-06

Abstract： In the teaching of statistics， experiment course is both theoretical and practical， which is of great significance for the cultivation of innovative scientists and technicians. Starting from the view of scientific research back feeding teaching， we propose an experimental teaching scheme based on mini modeling task and corresponding evaluation system by introspection on the knowledge structure of statistics， the inner quality of scientific researchers and the natural process of scientific exploration. The effect of course reform is analysed through empirical teaching.

Keywords： statistical experiment course; teaching reform; mini modeling task; empirical teaching; scientific research back feeding teaching

一、研究背景

隨著數字化時代的到來，人類的一切發現和創造都始于對數據的學習。因此，高校統計學的學科建設和人才培養也日益受到重視?，F今美國、日本以及歐洲發達國家高校的統計學教育非常注重實踐能力和創新能力的培養，并通過校企合作為學生提供了大量參與實踐活動的機會。我國的統計教育曾受前蘇聯影響很深，偏重數學的邏輯性而缺少實踐環節，授課和考試方式單一，難以激發學生的興趣和學習的主動性。早年為工科和經濟專業開設的一些應用統計課程以介紹軟件操作為主，而對相應理論的闡述不夠，在課程學習后學生往往只會利用統計軟件對原始數據做機械化的處理，而不會運用統計學的思想分析和解決問題。

姜伯駒院士在《大學生的數學修養和數學教學改革問題》中指出[1]，數學是一種分析問題、解決問題的實踐活動，與打獵一樣是活的本領，轉換觀點、選擇方法、熟悉軟件、檢驗結果、發現毛病、尋找原因等等環節，只有親身經歷才能學到手。現今實驗課程已被廣泛認為是學生完成知識重構并充分內化知識的有效途徑，在統計學方面也出現了很多相關的教學研究。吳啟富，尹居良等[2，3]認為應科學界定統計學各課程的講授內容，將統計思想的講授與統計軟件的應用有機結合，并通過案例教學、精心布置上機作業和課后作業等教學手段全面提升學生的綜合能力。朱連華[4]提出應重視課程前沿的介紹，并從實際問題出發引入統計分析概念。張愛華等[5]提出將數學建模思想引入到課程當中，通過學生自主探究學習提高學生發現問題和解決問題的能力，同時讓學生以團隊的形式共同完成研究論文或報告，提高學生的團隊合作能力。肖枝洪等[6]提出快樂教學的理念，通過為學生提供相關課外閱讀材料、吸納學生參與教師科研活動等方式激發學生的求知欲，并使學生學會利用圖書館和網絡資源進行獨立學習。徐爾等[7]對基于慕課的線上線下混合式教學進行了實踐，提出在各個教學環節中注重“以學生為中心”的理念。王榮海等[8]對集中形式實驗課的教學組織進行了詳細的探討，包括實驗前的知識準備、選題的難度、學生的分組、教師的答疑輔導、答辯、結果評價等方面。

當代科學技術發展日新月異，培養具備自主研究和研發能力的創新型人才變得越發重要。教育部2019發布的《教育部關于深化本科教育教學改革全面提高人才培養質量的意見》中指出，應推動科研反哺教學，強化科研育人功能，推動高校及時把最新科研成果轉化為教學內容，激發學生專業學習興趣。我們充分汲取和借鑒實驗課的現有教研成果，結合自身從事數據科學研究的經驗，從統計學的知識結構、科研工作者的內在素質和科學探索的自然過程三方面出發設計出一套基于小型建模課題的實驗課教學方案，通過天津職業技術師范大學數學專業本科三年級學生課程“統計軟件應用設計”（后簡稱“統計軟件”）開展實踐，并對新方案的教學效果進行了全面的分析。

二、教學方案的提出依據和主要內容

（一）知識結構的再劃分

在過去幾十年中，我國統計學專業的課程設置經歷了以部門統計為主到以統計方法為主的變化，逐步與國際接軌。然而，教與學中的矛盾正在發生新的變化。很多企業和研究所的反饋顯示，進入工作崗位后的高校畢業生并不具備令人滿意的研發和應用能力，包括很多在校成績優異的學生;計算機及其有關軟件提供了越來越多更加直觀的圖形表達和分析方法，使得許多原先教科書中重要的內容有了多角度更易于被理解的輔助和替代，在專業課中講授這些內容已變得無足輕重;大量分享知識和技術網絡交流平臺的出現使學生有更多途徑獲得書籍、論文、學習筆記、教學視頻、程序代碼等資源，網絡就像一本實時更新的大辭典，隨時可以依需查閱和擴充學習;新興起以學生為主體，主張學生“在做中學”的翻轉課堂教學模式[9]也沖擊著以往過于強調“分門別類”的課程劃分。

統計學中的各種方法如回歸分析、多元統計、隨機過程、時間序列、統計計算、貝葉斯統計等，它們的內容并不是互相分離的，而是存在很多交集。如多元回歸分析同時屬于回歸分析和多元統計;再如統計計算中的Gibbs抽樣算法、EM算法都是以貝葉斯統計為理論基礎的。另一方面，統計學與優化理論、數值計算、物理學等其他數理分支也越發呈現出緊密的聯系。如統計學中的回歸、優化理論中的擬合、數值計算中的函數逼近，雖然條件敘述和符號記法小有差別，但實質是相同的概念;再如很多非確定性的優化問題是通過概率模型來表述的，而統計模型中的參數估計值經常需要使用數值計算方法進行求解。按照統計方法編排的課程之間包含很多重復的內容，增加了學生的學習負擔，甚至學生在選課時經常由于時間沖突不得不放棄一些課程。并且，學生在課程學習后往往只能求解各門課程教材中的典型題目，而在面對實際問題時不能靈活運用學過的統計方法來思考。真正指引科學工作的不是統計方法，而是在觀察和探索問題過程中產生的統計思想。我們認為，可以提出一種更簡約的知識結構，并以此指導統計學的實驗教學。

按照統計思想進行劃分，統計學方法均可歸入“樣本分析”和“情境模擬”兩類。樣本分析即基于實際觀測到的樣本進行統計建模，根據樣本中是否含有響應變量可進一步分為以預測響應變量為目標的有監督學習和以數據降維為目標的無監督學習。情境模擬不從實際中收集樣本，而是直接構造一個與所研究問題相關聯的概率模型并在計算機上生成仿真樣本，通過重復模擬實驗得到模型的統計特征，最終給出原問題解的近似值。所有的蒙特卡羅方法和啟發式算法均屬于情境模擬。

根據統計思想對統計學的知識結構進行重新劃分，有利于為學生闡明實際問題和抽象模型之間的聯系，一旦他們理解了問題，將很自然地找到分析解決問題的方法。因此，我們在實驗課的準備階段和課題設置上均以引導學生建立統計思想、拓展統計思維為出發點，而對于解決問題的方法和步驟不在題目中加以任何提示或限定。我們給出兩個課題作為示例（見下頁）。

（二）科研素質的培養

實驗課教學不僅僅要使學生掌握知識和技能，也要培養學生的科研素質。一個優秀的科學工作者應誠實，嚴謹，受興趣和好奇心驅使，還應具備獨立思考能力、交流協作能力和團隊責任感，這些品質對其職業生涯發展影響深遠。

在現今國內高校教育中，興趣和思維獨立性的培養被認為是一件困難的事。過于注重結果性評價的考核體系使學習的過程背負了太多和學習本身無關的功利和壓力，學生普遍希望從教師的講授中得到統一的、不會被扣分的正確答案，而不是通過主動探索去獲得屬于自己的個性化答案。在學習中進步速度稍慢或暫時遇到瓶頸的學生由于成績上的落后，更傾向于逐漸失去表達自己的信心和獨立思考的習慣。

美國芝加哥大學教育系教授Bloom在他的掌握學習理論中指出[10]，大多數學生能夠掌握教師所教授的事物，教學的任務就是要找到使學生掌握所學學科的手段，作為教育者要改變傳統中認為學生的學業成績呈正態分布的思想。為使每個學生的興趣和能力得到更加充分的發展，我們在課堂教學互動、課下提問和探討、答辯評審等各教學環節中充分發現學生的優點并給予肯定，對學生進行綜合性的過程評價，并和學生的課題報告成績進行加權計算得到總成績。在過程評價中，教師不只關注于學生觀點、分析和計算的正確性，一個新穎的視角，或交流和工作中所表現出積極誠懇的態度、品格、思想和情感，均可以作為采分點。由于總成績的差別變得很小，基礎不好的學生也敢于按照自己的想法去完成課題;結課后教師會將包含各項過程和結果評價的計分表透明公開給全體學生，使他們更加準確地了解到自己的學習情況。

為鍛煉學生的團隊協作能力，我們根據學號將學生進行分組，每三人一組完成指定編號的課題。在評價答辯和報告材料兩項小組共同完成的工作時，各組內成員將被給予相同的成績。經過適當調整，沒有一組成員都是以往成績優秀的學生。課題使用到很多新學習的知識，且需在五天內完成，即使能力較強的學生也難以一個人承擔課題的全部工作。于是，和之前可能沒有配合經驗的隊友盡快開展討論、團結協作，對于課題的完成質量非常關鍵。

為鍛煉學生的思考獨立性，在學生完成課題期間我們采用一種異步和高度自由化的方式為學生答疑——各組的進展是不同步且沒有教師干預的;只有經過思考提出問題的學生才能得到教師針對問題的回答。即使一些學生表示無從下手，教師也鼓勵他們依靠自己的力量分析題目和尋找思路，在學生提出問題后再給予指導。

為使學生具備嚴謹的工作態度，學生提交課題報告時須一并提交程序源代碼，教師將逐一測試程序中是否存在錯誤導致不能成功運行，或不能實現編寫者期望的功能，并在課題反饋中做出指正。

最后，為培養學生的誠信意識，我們高度重視課程評價的公平性和嚴肅性。所有實驗課題均取材自教師的閱讀和研究，在保證難度適宜的前提下經過了充分的組合與擴展;在使用開源數據集時，數據集的名稱也將改換，學生可以借助網絡搜索與問題相關的材料和工具，但無法直接找到問題的解法和答案。教師發布題目前要求各組須對自己的工作做好保密。此外，教師挑選范例科學論文帶著學生進行賞析，促使學生在提升美學追求的過程中自發提高誠信意識。

（三）科學探索的自然過程

作為一門應用學科，學習統計的最終目標是學以致用。從潛藏在事物紛繁復雜表象下揭示出井然有序的本質規律絕非易事，因此有效的教學不能脫離對真實發現和應用過程的模擬。我們將科學探索的自然過程用圖1表示。

小型課題研究能夠幫助學生加深對統計理論的理解，同時它也是一份正式科研工作的微縮。在課題完成時，我們要求提交的材料包括課題報告、答辯PPT、程序源代碼和程序說明文件，并對每項材料提出了細致的要求。學生在整理和總結材料的過程中可以學習到如何獨立開展一項完整的研究工作，這也將為畢業論文的寫作打下基礎。我們的課題報告要求詳見表1。

三、實證教學研究

（一）修課群體和課程安排

我們以天津職業技術師范大學數學專業17級的102名本科生為研究對象，修課時學生處于三年級第二學期，課程在學期結束前的兩周時間內集中完成。第一周為實驗準備階段，這一周教師從R軟件的使用和數據的描述性分析開始，按照新的知識結構劃分對統計學的經典方法和前沿應用進行系統的講授，每部分內容均從案例出發，由統計思想自然引出各種具體的統計方法，然后講解實現方法的程序設計思路。基于同類統計思想、以往教材中獨立成章的統計方法被合理地歸并，精簡授課時間的同時便于學生類比學習。我們的教學框架詳見表2。

第二周為課題工作階段，教師發布題目，各組學生用五天時間完成課題，期間須對自己的工作做好保密。學生遇到問題可隨時與教師交流，但在沒有問題提出時，教師不會主動干預學生的課題工作。周六進行課題答辯，一組學生答辯過程中其他學生不被許可旁聽。答辯后學生有一天時間對報告和程序做修改和補充，并在周日晚提交所有材料，之后各組可以自由交流。在教師完成評審、公布成績后將報告和程序中的問題反饋給學生，同時與學生進行深度交流，了解他們本次課程的體驗和收獲。

在課題工作中我們并不限定必須使用R軟件，學生可以選擇任何更加熟悉的編程語言來完成課題。由于COVID-19疫情原因，所有授課、答疑、答辯和反饋都是在線上進行的，教師講授環節我們使用帶有回放功能的騰訊課堂，答辯和反饋環節使用便于多人交流的騰訊會議，答疑探討使用生活化的即時通信軟件QQ和微信。

（二）過程提問分析

我們對學生在完成課題過程中向教師提出的問題進行統計，問題涉及以下幾個方面：題目的理解、統計方法的選擇和應用、編程技術性問題、程序運行結果的含義、報告的書寫范式，問題數量分別占總問題數量的30.2%，31.7%，15.9%，17.5%和4.8%。

前兩類問題占到了近2/3的比例，大部分學生在構建解題思路的階段遇到了較大的困難，他們往往試圖從教材和網絡中尋找類似題目的解法直接進行套用，而不是從對課題本身的分析出發，經過抽象和提煉將問題轉化為數學模型再有針對性地設計解法。如示例題目2的系統復雜性低于教師之前講授排隊問題的模擬案例，但前期很多學生表示該題目和課上講授的案例都不同，找不到思路。

很多學生不能對程序結果做出準確的解讀，導致他們難以發現數據中蘊藏的規律或使用分析方法中存在的偏誤。一些小組表示他們使用相當多的時間對概率論、數理統計、隨機模擬等相關知識進行了再次學習和理解，這些小組的進步速度很快，最終找到的解題方法也更加合理。

關于編程的問題涉及數據存儲、控制流、向量運算、符號運算、函數定義方式、工具箱函數等。從提問中發現，雖然經過了C++、數據結構和Matlab課程的系統學習，相當一部分學生的編程基礎仍不夠扎實，缺乏靈活運用的能力。

此外，經常能夠提出問題的小組課題完成質量整體優于很少和教師交流的小組。

（三）課題報告完成情況分析

教師評價報告材料的主要依據包括：能夠從問題出發選擇適于分析和解決問題的方法;能夠對程序得到的結果進行合理的分析與挖掘;程序編寫無誤，能夠準確實現所期望的功能;程序設計簡潔，條理清晰，注釋完備，計算效率高;研究報告語言表述清晰，結構和內容完整，可讀性好;報告敘述嚴謹，結論均有數據分析結果作為支撐;善于使用圖表增強論證和結果的可視化。達到上述各項要求的小組比例分別為67.6%，61.8%，82.4%，50%，70.1%，50%和44.1%。

我們將報告材料中的一些典型錯誤列舉如下：

1. 在分析包含自變量和響應變量的數據集時，不能基于問題和數據的特點適當的選用模型。如示例題目1第二問，有很多組使用普通的線性回歸進行分析，直到報告完成仍沒有意識到這是一個二分類問題。

2. 未認識到一元分析與多元分析的本質區別。有些組將多元問題拆解成為若干個一元問題來處理，導致數據包含的信息沒有得到充分挖掘;也有些組使用了多元模型，但沒有進行變量選擇。這些錯誤都會導致無法得到準確的結論。

3. 在評價回歸或分類模型的預測能力時，未考慮模型的過擬合問題。如示例題目1第三問，很多組沒有將數據集拆分為訓練集和測試集并交叉驗證模型預測的穩健性。

4. 在進行模擬時未考慮計算機的隨機數生成機制。有些組在循環中逐個生成隨機數而不是一次性生成一段隨機序列，致使程序運行耗時較長。

5. 面對模擬結果呈現出的隨機性，不知如何從中獲得統計規律。如示例題目2，很多組沒有認識到多次模擬結果的平均值一定收斂于其數學期望，且該平均值的分布一定趨于正態分布，這是由大數定律和中心極限定理保證的，由此可以得到統計特征的估計值和置信區間。

顯然，上述問題均反映出學生對統計學中一些基本、但又十分重要的概念和思想缺乏深度認知。

由于課題工作期間禁止組間交流，同一題目各組的建模思路均有一定的差異，也出現了一些雖不成熟但很有特點的解法。如示例題目2，一組學生通過對各時間變量求數學期望將隨機問題約簡為確定性問題。在反饋會中教師一方面對學生的想法給予了鼓勵，同時指出約化前后的問題并不具有等價性，忽略系統的隨機性是以降低分析結果的準確性為代價的。

我們將學生的實驗課表現與他們在專業課“概率論與數理統計”（后簡稱“概率統計”）中的期末考試成績進行了對比。由于實驗課的過程評價具有較強的主觀性，在對比分析中我們使用課題報告成績衡量學生的實驗課表現，并將成績分為優（≥90）、良（85到90之間）、中（<85）三個類別。

計算出本次實驗課各小組概率統計成績的組內平均值，并繪出分布直方圖如圖2。雖然分組時優秀生被分散在不同組中，各組的理論課成績仍具有差異性。按實驗課成績將學生分為三類，繪出各類學生概率統計成績分布的箱線圖如圖3。由圖可見，實驗課取得優秀成績學生的理論課考試成績并沒有明顯的優勢。

我們從兩個視角對上述統計結果進行解釋。首先，理論課考試成績反映的是個人學習水平，而分組實驗課題需要更多的交流與配合，更考查綜合能力，這使得更多理論課學習不突出的學生也有了均等的機會在團隊工作中做出貢獻，通過相互幫助和協作高質量地完成課題。另一方面，理論課成績不一定能夠真正體現學生對概率統計知識的掌握程度。依靠機械記憶公式、定理和常見題型也能完成理論課的考試題目，但在課題實踐中一切對理論認知的不清晰、不系統和不深刻都會顯現出來。

（四）學生的課后反饋

我們對學生提交報告材料后與教師的交流進行了整理。很多學生表示本次課題工作對于他們是一次全新的挑戰，需要很多獨立和主動的思考。經歷了無從下手的迷茫，到有了從頭至尾完整的思路并通過團隊協作完成了課題，統計建模的能力和信心都得到了鍛煉和提升，回想之前每一步都在教師安排下的實驗課模式反而使自己的思維受到了限制，他們更愿意和教師進行平等的交流與探討。也有很多學生表示在實驗課的課堂教學和課題工作中他們發現了自己在統計理論、程序設計、書面表達、工作嚴謹性等方面的漏洞和不足，更加明確了今后的努力方向。

四、結束語

統計學實驗課是數學、工程、經管等學科實踐教學的重要組成部分，在數據科學蓬勃發展的今天，這類課程的建設與完善對于科技創新人才的培養具有關鍵意義。教學實證充分說明本文所提出的實驗課方案能夠取得成功的教學效果。大學教學是大班教育，加之現今很多實驗課程是在線上開展的，教師很難充分了解每一個學生的學習情況。教師除了完成教學任務，更要重視激發學生的學習興趣和學習動力，使學生主動學習，積極和教師交流。統計學實驗課又是一門開放式的課程，從實驗課題的設計到課題報告的評價都需要教師具備廣泛的知識面和扎實的專業能力，才能給予學生客觀的評價和全面的指導。教師同樣要有求學的渴望，跟上科學技術前沿，加強自身能力訓練，不斷充實和更新自己。

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