“正方形半角”模型在中考壓軸題中的應用

張杰

【數學模型】如圖1，若在正方形ABCD中，E、F分別在AD、CD上，且∠EBF=45°。則有如下結論：

（1）EF=AE+CF;

（2）△EDF的周長=AD+CD=正方形周長的一半。

【解析】如圖2，利用截長補短法，延長DC到G，使CG=AE，可以證明△ABE≌△CBG，所以BE=BG，∠ABE=∠CBG。因為∠EBF=45°，所以∠GBF=45°，所以∠EBF=∠GBF，所以△EBF≌△GBF，從而證明EF=FG=FC+CG=FC+AE，△EDF的周長=AD+CD=正方形周長的一半。

【點評】在中考壓軸題中，特別是動態幾何問題中，如果出現正方形中存在45°的三角形時，我們可以加以應用。命題者通常會把點E、F作為兩邊的動點，產生的Rt△EDF的邊長改變，面積也會改變，但周長不變，圖形在運動過程中就存在著變量與不變量，這也是最近幾年壓軸題的一個非常顯著的特點。

（2019·江蘇徐州）如圖3，平面直角坐標系中，O為原點，點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上。△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數y=9x的圖像上。PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD。

（1）求∠P的度數及點P的坐標;

（2）求△OCD的面積;

（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積;若不存在，請說明理由。

【解析】（1）如圖4，過點P分別作PE、PF、PN垂直于y軸、x軸、AB，垂足分別為E、F、N，容易求出P點坐標為（3，3），∠APB的度數為45°。

（2）（解法1）如圖5，連接OP，

∵∠APB=45°，∠POF=45°。

∴∠PCO=∠DPO，且∠POC=∠DOP=135°，

∴△PCO∽△DPO，

即CO·DO=PO2=（3

∴△COD的面積=9。

（解法2）設OA=a，OB=b，則AE=3-a，BF=3-b。根據正方形中45°三角形模型得AB=AE+BF，∴AB=6-a-b。

∵AB2=OA2+OB2，

【點評】解法1的巧妙在于利用相似關系求出CO與DO的乘積，技巧性比較強。但考試的時候，我們在很短的時間內難以想出這個思路。

解法2考慮到OA、OB長度可以改變，這樣OC與OD的長度也會改變，△COD的形狀隨之發生改變，但面積是否改變要看OC與OD的乘積。我們通過把OC、OD用OA、OB表示，運用代數式的變形求出結果。利用“正方形半角”模型得AB=EA+FB，結合勾股定理構建相等關系是解決問題的關鍵。……