一道市場經濟類函數應用題的探究

王洪波

“數學源于生活，又服務于生活?！苯⒑瘮的Ｐ汀⑦\用函數知識解決生活中的實際問題是中考熱點題型。要解決該類問題，我們需要先明確解題思路，再聯想相應的函數基礎知識。本文以2019年湖北省十堰市中考試卷第23題為例，與同學們一起探討初中數學函數應用問題的解題策略。

某超市擬于中秋節前50天里銷售某品牌月餅，其進價為18元/kg。設第x天的銷售價格為y（元/kg），銷售量為m（kg）。該超市根據以往的銷售經驗得出以下的銷售規律。1當1≤x≤30時，y=40;當31≤x≤50時，y與x滿足一次函數關系，且當x=36時，y=37，當x=44時，y=33。2m與x的關系為m=5x+50。

（1）當31≤x≤50時，y與x的關系式為;

（2）x為多少時，當天的銷售利潤W（元）最大？最大利潤為多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日銷售利潤W（元）隨x的增大而增大，則需要在當天銷售價格的基礎上漲a元/kg，求a的最小值。

【思路探究】本題是典型的通過構建不同函數模型解答銷售利潤的問題。

第（1）問比較簡單，我們可以直接建構一次函數模型，依據題意，利用待定系數法，易得出當31≤x≤50時，y與x的關系式為y=-12x+55。

第（2）問，我們可以根據銷售利潤=銷售量×（售價-進價），列出每天的銷售利潤W（元）與銷售價y（元/kg）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤。當銷售的時間x（天）的范圍不同時，銷售價格y（元/kg）也不同，因此要分類討論。因為銷售利潤W=m?（y-18），當1≤x≤30時，y=40，W=（40-18）（?5x+50），所以W是x的一次函數;當31≤x≤50時，因為m與x的關系為m=5x+50，所以得到W是x的二次函數。我們需要分別建立一次函數、二次函數模型求最值。

第（3）問是要使第31天到第35天的日銷售利潤W（元）隨x的增大而增b大，則二次函數的對稱軸-2a≥35，求得ba即可?！?br>