二次函數背景下的壓軸題破解策略

胡永強

近年來許多地區都以二次函數知識為背景編制中考壓軸題。解決這類問題通常需要引入新的參數代入函數表達式得出點的坐標，結合點的坐標表示一些線段的長度，再根據題目的條件建立這些線段之間的相等關系或比例關系，得到方程并求出新參數的值，從而解決問題。下面以2019年四川省南充市中考試卷第25題為例進行詳細解讀，供同學們參考。

如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC。

（1）求拋物線的解析式。

（2）點P在拋物線上，且∠POB=∠ACB，求點P的坐標。

（3）拋物線上兩點M、N，點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為m+4。點D是拋物線上M、N之間的動點，過點D作x軸的垂線交MN于點E。

1求DE的最大值;

2點D關于點E的對稱點為F，當m為何值時，四邊形MDNF為矩形？

【思路突破】（1）由點B（-3，0）和OB=OC這兩個條件可得點C（0，-3），將A（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得方程組，解方程組后即可求出拋物線的解析式為y=-x2-4x-3。我們還可以由點A（-1，0）和點B（-3，0）設二次函數的交點式y=a（x+3）（x+1），將點C（0，-3）代入y=a（x+3）（x+1），得a=-1，則拋物線的解析式為y=-x2-4x-3。

（2）因為點A、B、C三點確定，因此∠ACB為一定值。圖中的∠ACB所在的三角形為鈍角三角形，不利于解決問題，可依托∠ACB構造一個直角三角形，再用直角三角形的相關知識解決問題。

如圖2，作AH⊥BC于點H，因為A（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3），則AB=2，OB=OC=3，BC=32，所以∠ABC=45°，所

過點P向兩條坐標軸作垂線段，構造直角三角形，再借助點P的坐標表示

因為DE∥y軸，所以我們可以設點D、E的橫坐標為d，將其代入拋物線和直線MN的解析式表示出點D、E的縱坐標，再將點D的縱坐標與點E的縱坐標作差，即可得到DE的二次表達式，最后結合求二次函數最值的相關知識求出DE的最大值。……