構造輔助圓　巧求最小值

吳玲芳

在求平面幾何中的一些線段的最小值時，我們通常作輔助線來求解。例如“將軍飲馬”這類問題，可以作對稱點，利用軸對稱的知識幫助解決。而有些求線段的最小值的問題，用常規的解題方法難以求解。此時，我們可以從已知條件出發，根據圓的定義，或利用圓周角定理及其推論，構造輔助圓，運用圓的知識進行解答，從而求出線段的最小值。

一、從定長入手構造圓

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是BC邊上的動點，將△EFB沿EF所在的直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值為。

【分析】折疊過程中，B′E=BE，所以B′E的長度不變，即動點B′到定點E的距離是一個定值，所以點B′的運動軌跡是以點E為圓心，2為半徑的圓的一部分，以此構造輔助圓（如圖2）。B′D的最小值就是點D與圓E上的點的最短距離，當點D、E、B′三點共線時（如圖3），B′D最短。

解：如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°。

∵在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2，

又∵AE=2，AD=6，

∴DE=210。

當點D、E、B三點共線時，DB'最短。

∵BE=BE=2，

∴DB'=210-2。

【點評】圓的集合定義是到定點的距離等于定長的點的集合。在本題中，折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀。無論折到什么位置，B'E的長度始終保持不變，所以可以構造輔助圓來解決問題。審題的關鍵是找到一條長度確定的線段，一個端點是定點，另一個端點為動點，那么動點的運動軌跡是圓。

例2如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點P在矩形ABCD內，且∠BPC=90°，則AP的最小值為。

【分析】已知∠BPC=90°，且∠BPC所對

的邊BC是一條定邊，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，可以將∠BPC看成是在以BC為直徑的圓中BC所對的圓周角（如圖5）。點P的運動軌跡是以BC的中點O為圓心，3為半徑的圓的一部分。……