實際問題中的方程與不等式模型

李智勇

建立模型是學習“數學應用”的最佳方式之一，它能夠讓同學們深刻體會到數學在實際生活中的應用。隨著中考對“理論聯系實際”能力考查的注重，這就要求我們能夠從實際問題中抽象出蘊含的方程與不等式，找出等量關系和不等關系，建立方程（組）模型和不等式（組）模型，從而把實際問題轉化為數學模型，然后運用數學知識來解決實際問題。

例1某商店購進甲、乙兩種商品，甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同。

（1）求甲、乙商品的進貨單價;

（2）若甲、乙兩種商品共進貨100件，要求兩種商品的進貨總價不高于9000元，同時甲商品按進價提高10%后的價格銷售，乙商品按進價提高25%后的價格銷售，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元，問有哪幾種進貨方案？

（3）在條件（2）下，并且不再考慮其他因素，若甲、乙兩種商品全部售完，哪種方案利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】（1）設甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元，根據“甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同”即可列方程組求解;

（2）設甲進貨x件，乙進貨（100-x）件，根據“兩種商品的進貨總價不高于9000元”“兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元”即可列不等式組求解;

（3）根據每個商品的利潤列出總利潤的函數，利用函數的性質即可求解。

解：（1）設甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元。

根據題意，得ìíx-y=20，?20x=25y。……