構造基本圖形，巧解含有45°角的問題

余旭紅

以函數為載體的幾何問題始終是近幾年全國各地中考的熱點試題。要解決此類問題，我們常把“形”轉化為運算，達到“化形為數”的目的;同時一定要充分利用幾何的基本性質

（如勾股定理和三角形的全等與相似、等腰三角形和特殊四邊形的性質等），抓住問題表象中的隱含條件，構造出基本圖形，結合平面直角坐標系的有關計算，達到幾何與代數的完美結合。我們以一道典型試題為例，說明通過構造基本圖形，巧妙解答含有45°角的問題。

例題呈現如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點，已知點C（2，0）。

設P為OB的中點，連接PA、PC，若∠CPA=45°，求m的值。

方法一：構造“一線三等角”基本圖形，利用相似三角形性質巧妙解決問題。

【解析】如圖2，在y軸上截取OD=OC，可得∠PDC=45°，可證得△ABP

12m∽△PDC，從而可得DC=DP，即22

BPBA=12m+2，解得m=12。

【解題感悟】“一線三等角”基本圖形往往能建立三角形相似或全等。抓住∠CPA=∠PBA構造等腰Rt△OCD，得到∠CPA=∠PBA=∠PDC=45°，形成“一線三等角”的基本圖形，再利用相似三角形的基本性質列出方程，從而巧妙地求解m的值。

方法二：構造“三垂型”基本圖形，利用全等三角形性質巧妙解決問題。

【解析】如圖3，過點C作DC⊥PC，交AP于點D，作DE⊥x軸，易得△OPC≌△ECD，從而可得DE=CO=2，

【解題感悟】“三垂型”基本圖形往往能建立三角形相似或全等。在例題的求解中，構造等腰Rt△PCD，構造Rt△DCE，從而可得∠POC=∠PCD=∠CED=90°，形成“三垂型”基本圖形。由PC=CD即得到△OPC與△ECD全等，利用全等三角形的性質和平行線分線段成比例定理列出方程，從而巧妙地求解m的值。

方法三：構造“正方形”，利用相似三角形性質巧妙解決問題。……