從摸球試驗例談古典概型復習課中例題的選取

李萌

摘? 要：古典概型是高考中涉及的兩個最基本的概率模型之一，它是二項分布和超幾何分布概率計算的重要理論依據，經常與排列組合及概率分布問題結合組成令考生眩暈的概率大題。本文以摸球試驗為例，探索古典概型復習課中例題的選取問題。

關鍵詞：摸球;古典概型

數學教學的主要活動是學習模型、應用模型、建立模型、忘記模型的過程，在復習古典概型這一特殊且重要的概率模型時，筆者認為緊緊抓住摸球試驗，設計合理的摸球方案，就能將古典概型及其相關知識點的計算講透徹.其他教輔上的題目大多都可以轉化成摸球試驗.以下典例是筆者上課時的教學設計：

例：一袋中有質地均勻大小相同的6個黑球，4個白球

（1）不放回的把球隨機的一個一個全摸出來，求第1（或者2，3，4，5，6，7，8，9，10）次摸出一個球為黑球的概率.

解：此題是課本上例題的改編，出自北師大版必修三第三章概率的第二節古典概型中建立概率模型一節，教材當中選取的就是摸球問題（可見摸球試驗的重要），教材中給了四種建立模型的方法，據此可以得出本題結論，本題也可以用來解釋抽獎與順序無關.

（2）不放回的把球隨機的一個一個全摸出來，求第2次才摸出黑球的概率

解：由古典概型的計算公式得

（3）不放回地依次取出7個球，正好有5個黑球的概率.

解：由古典概型的計算公式得，這是超幾何分布求概率的模型.

（4）有放回的摸出7個球，正好有5個黑球，2個白球的概率.

解：由古典概型的計算公式得這是二項分布求概率的模型.

（5）不放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

解法一：利用古典概型公式：，條件概率計算的基礎也是古典概型的計算公式.

解法二：B為“不放回取球，第一次取出白球” C為“不放回取球，第三次取到黑球”由條件概率：

（6）有放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

解法一：設事件為“有放回取球，第一次取出白球時，第三次取到黑球”，因為是有放回的取球，所以每次取球的結果互不影響，屬于獨立重復試驗模型，所以第三次取球時依然是6個黑球，4個白球，取得黑球的概率為

解法二：只考慮后兩次

（7）現逐一不放回地進行摸球，直到4個白球都被摸出為止，求摸球次數為5的概率.

（8）每次從袋中摸出一個球，然后放回，若累計3次摸到黑球則停止摸球，否則繼續摸球直到第5次摸球后結束，求摸球四次就停止的事件發生的概率.

解：本題為有放回摸球，可理解為獨立重復試驗，如果摸球四次就停止，說明在這四次中一共摸到3次黑球，且前三次有兩次摸到黑球，第四次又摸到黑球。設事件為“摸球四次即停止摸球”

（9）另一袋內有大小相同的1個黑球和3個白球，現從兩個袋內各任取2個球，求取出的4個球中黑球個數的數學期望.（略）

對于摸球問題我們需要關注摸幾個和怎么摸的問題，若一次性摸取，特點是一次摸夠，元素不重復，無順序;解決方法：用組合的思想去解決;若逐次不放回摸取：特點是每次只摸一個，若干次摸夠，元素不重復，但有順序，解決方法：用排列的思想或分步計數原理去解決;若是逐次放回摸取：特點是每次只摸一個，若干次摸夠，元素重復，同一個球每次被摸到的概率都一樣，解決方法：獨立重復試驗某事件恰好發生K次的概率.

若把黑球看成次品，白球看成正品，則摸球可以描述產品抽樣.可引出超幾何分布：

在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發生的概率為P（X=k）=，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*.若將這個問題中的抽取方式變成有放回的，就是我們熟知的二項分布.這兩個概率公式計算基礎都是古典概型，前面已經舉例說明.假如產品分為若干等級一等品、二等品、三等品等，則可用有多種顏色的摸球模型來描述.由于摸球的方式、球色的搭配及最終考慮的問題不同，其內容可以說是形形色色、千差萬別。歷史上曾有人把浩翰繁雜的古典概率問題歸納為摸球問題、占房問題及隨機取數問題，又有人把其歸納為摸球問題、投球問題及隨機取數問題。可見，摸球模型的確是古典概型中的一顆璀璨的明珠。

以上這組變式訓練難度適宜，同時將二項分布、超幾何分布、條件概率的計算設計其中，用古典概型的計算公式道明其計算原理，從源頭上解決了這幾個問題的計算難點，綜合性較強，充分展示了知識之間的聯系，學生只要在對比中找差異，總結規律，就能掌握模型進而達到應用的要求..筆者能力有限，不足之處，歡迎指正，望相互交流與學習.

參考文獻：

[1]嚴士健，王尚志.數學（必修3）[M].北京：北京師范大學出版社，2014.