數學焦慮對初中生概率推理的影響——一個有調節的中介模型

史滋福，謝云天

數學焦慮對初中生概率推理的影響——一個有調節的中介模型

史滋福，謝云天

（湖南師范大學 心理學系 認知與人類行為湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410081）

采用數學焦慮量表、概率推理量表以及數學元認知問卷對431名初中生進行測查，探討數學焦慮對初中生概率推理的影響及作用機制．結果發現：（1）數學元認知在數學焦慮與概率推理之間起中介作用；（2）數學元認知知識在數學焦慮與概率推理之間的中介作用不顯著；（3）數學元認知體驗、數學元認知監控在數學焦慮和概率推理之間起中介作用；（4）性別調節了數學焦慮經過數學元認知監控對概率推理的中介效應．與男生相比，女生數學焦慮經過數學元認知監控對概率推理的中介效應顯著增加．因此，數學焦慮和初中生概率推理之間存在有調節的中介效應．

概率推理；數學焦慮；數學元認知；性別

1 問題提出

人們在日常生活中常常遇到不確定性事件．隨著年齡的增長，基于不確定事件的概率判斷變得越來越重要[1]．目前，統計與概率是中國義務教育階段數學學習的主要內容之一．《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“推理的發展應貫穿于整個數學學習過程中．”雖然計算比率的能力較早開始發展，但有關概率推理的相關規則大多是在青春期獲得的[2]．對于正處于青春期的初中生來說，他們在這個時期形成、發展的概率推理能力很可能影響他們在學習、生活中的判斷和決策，影響今后的成長．因此，關注初中生的概率推理能力及其影響具有重要的現實意義．

縱觀以往研究，有研究認為，成年人經常違反概率論中的某些重要規則[3]．兒童在概率推理中也表現出成人文獻中的偏向[4]．也有研究認為，兒童傾向于退回到主觀判斷，其概率思維傾向于“過渡性”（transitional）或“非正式的定量”（informal quantitative）推理[5]．事實上，人們通常對隨機性和概率持有正確和不正確的直覺和信念，其中有些會導致人們做出有偏向的推理[6]．為了消除這些不合理信念的影響，研究者大多從“問題表征”及“認知能力”、“認知負荷”以及“思維風格”等對成人概率推理的影響進行探討[7–8]．但概率推理問題大多以數學問題的形式出現，在一定程度上可能受到數學焦慮這種消極情緒的影響，妨礙人們的思維，阻礙和掩蓋真實的概率推理表現[9]．加工效能理論也認為，焦慮會導致可利用的資源相對減少，從而降低個體認知活動的加工效能[10]．已有研究表明，數學焦慮和數學成績呈負相關，高數學焦慮學生的數學成績顯著更低[11]．Primi等（2017）[12]的研究也發現，數學焦慮和概率推理顯著負相關，高數學焦慮個體的概率推理能力相對較低．

近來，抑制型焦慮模型理論對數學領域的現象做出了解釋，認為數學焦慮通過影響信息的預加工、加工和檢索，占用元認知資源，從而降低個體的數學表現[13]．數學元認知在數學焦慮與數學學業成就之間起中介作用[14–15]．高焦慮的個體更少運用調節性策略[16]．一項納入了118篇文章、149個獨立樣本的元分析結果顯示，元認知在控制智力的同時也能預測學業成績[17]．這說明了元認知對學業成績的重要影響．而概率推理問題一方面有數學問題的特征，另一方面，元認知在青春期中期開始影響推理表現，它可以抑制啟發式偏向，使推理者對備擇答案做出考慮，從而減少依賴啟發式和直覺反應的傾向[18]，而且高年級兒童表現得更好[19]．基于此，提出假設H1：數學元認知在數學焦慮與概率推理之間具有中介作用．另外，數學元認知包括3個成分，即數學元認知知識、數學元認知體驗以及數學元認知監控[20]．這3個成分對高效率數學學習學生的數學成績均有直接影響[21]．但由于其作用不同，如元認知知識具有奠基作用[22]，元認知體驗具有推動作用[23]，而作為核心內容的元認知監控通過元認知知識和元認知體驗的交互作用實現其作用[20]．因此，進一步提出假設H2：數學元認知知識、數學元認知體驗、數學元認知監控在中介數學焦慮與概率推理之間關系的作用不一樣．

性別差異是人類最基本的自然差別和社會角色差別之一[24]．信息加工理論認為，個體對認知信息的加工存在差異<[25–26]．男性和女性的信息加工模式不同[27]．即使處理相同的認知信息，也會產生不同的結果．概率推理中的個體差異不僅與元認知有關，還與認知能力有關，認知能力在識別相關信息以避免錯誤直覺和啟發式反應方面發揮著重要作用[4]．與初中男生相比，初中女生的形式抽象能力和運算推理能力更突出[28]．因而，即使元認知水平相同，但因為受到認知能力等因素的影響，男性和女性的概率推理表現也可能存在差異．再加上，元認知活動涉及確定方向、做出規劃、開展評估等部分[29–30]．有研究顯示，性別可以顯著調節個人規劃對學業成績的影響[31]．那么，在應用數學元認知資源來解決概率推理問題的過程中，是否會因為男女生信息加工模式的不一樣而導致不同的結果呢？更何況，女性在處理任何類型的信息時都可能更有反思性[32]．與男生相比，女生的數學元認知對概率推理的影響可能更為顯著．據此提出假設H3：性別的調節作用發生在中介的后半路徑，即性別顯著調節數學元認知對概率推理的影響，且女生數學元認知對概率推理的影響更大（見圖1）．

圖1 有調節的中介模型概念

綜上，研究目的主要有兩個：其一，考察數學元認知（數學元認知知識、數學元認知體驗、數學元認知監控）對數學焦慮和概率推理的關系是否具有中介作用；其二，考察性別對該中介作用是否具有調節效應．該模型對揭示初中生理解和解釋日常生活情境中的概率信息，順利完成對隨機事件的推理，抵御一些推理中的典型謬誤和偏見，并能完成入門統計課程所需要的基本概率推理能力所存在的問題具有重要的意義，也有助于識別統計教育領域中推理困難的學生和推理困難的原因，使其從課程一開始就得到教育支持，幫助其日后理性決策和不確定性判斷．

2 方法

2.1 被試

采用方便取樣法，選取湖南省長沙市某中學431名初中生為被試．其中，男生214人（49.65%），女生217人（50.35%）；初一156人（36.19%），初二140人（32.48%），初三135人（31.32%）；平均年齡為13.02歲（=0.96，年齡范圍為11~16歲）．已有的研究表明年級影響個體的元認知[33]和推理水平[34–35]，因此，研究中除了收集性別方面的信息，也收集了年級方面的信息．

2.2 研究工具

2.2.1 概率推理量表

2.2.2 數學焦慮量表

2.2.3 數學元認知問卷

2.3 程序及數據處理

研究者于2018年下半年期中考試前期，在所選取的中學里利用上課時間，以班級為單位進行團體施測．在學生填答前，由主試說明調查目的和注意事項，要求學生認真、獨立地回答每一道題目．所有問卷當場回收．采用SPSS23.0和MPLUS7.4對數據進行統計分析．

3 結果

3.1 共同方法偏差

在收集數據過程中，通過部分條目反向計分等方法對共同方法偏差進行程序控制．數據收集完成后，采用Harman單因子分析方法來檢驗共同方法偏差．結果發現，特征值大于1的因子共12個，第一個因子解釋的變異28.94%，小于40%．這表明研究中不存在嚴重的共同方法偏差．

3.2 各變量的“均值”“標準差”及“相關矩陣”

各變量的均值和標準差如表1所示．在控制性別、年級影響后，相關分析結果顯示，初中生概率推理和數學焦慮顯著負相關，和數學元認知、數學元認知知識、數學元認知體驗、數學元認知監控顯著正相關；初中生數學焦慮和數學元認知、數學元認知知識、數學元認知體驗、數學元認知監控顯著負相關；初中生數學元認知和數學元認知知識、數學元認知體驗、數學元認知監控兩兩之間均呈現顯著正相關．

表1 描述性統計結果和變量間的偏相關分析

注：**<0.01，***<0.001

3.3 概率推理與數學焦慮及數學元認知在性別和年級上的差異比較

對不同年級男、女生的概率推理水平、數學焦慮水平及數學元認知水平進行分析發現（見圖2），隨著年級的提高，男生的概率推理水平和數學元認知水平先降后升，而女生的概率推理水平、數學元認知水平一直處于上升趨勢；男生的數學焦慮水平先降后升，而女生的數學焦慮水平先升后降．

圖2 男生和女生在不同年級上的概率推理與數學焦慮及數學元認知的變化特點

3.4 有調節的中介作用檢驗

在對每個預測變量進行了標準化處理后，所有預測變量的方差膨脹因子均低于2.39，因此不存在多重共線性問題．此外，和已有研究發現[33–35]一致，同時也發現年級影響概率推理水平和數學元認知，所以在檢驗有調節的中介作用時，控制了年級變量的影響．

根據方杰、溫忠麟（2018）[38]提出的基于結構方程模型的有調節的中介效應分析步驟，檢驗性別在數學元認知中介數學焦慮和概率推理關系中的調節作用．首先，判斷基準模型是否可以接受．基準模型的檢驗結果顯示，數學元認知的中介效應值為–0.26，Bootrap95%為[–0.34, –0.19]，不包括0，說明中介效應顯著．主要擬合指數為：2/=14.27，=0.83，=0.75，=0.18，=0.13．這說明基準模型擬合不好，故不接受基準模型，停止后面的步驟．

然后，分別考察數學元認知知識、數學元認知體驗、數學元認知監控在數學焦慮和概率推理之間的中介作用以及性別的調節作用．

第一，檢驗性別在數學元認知知識中介數學焦慮和概率推理關系中的調節作用．首先，判斷基準模型是否可以接受．基準模型的檢驗結果顯示，數學元認知知識的中介效應值為–0.01，Bootstrap95%為[–0.04, 0.02]，包括0，說明中介效應不顯著．主要擬合指數為：2/=12.60，=0.89，=0.81，=0.16，=0.08．這說明基準模型擬合不好，故不接受基準模型，停止后面的步驟．

第二，檢驗性別在數學元認知體驗中介數學焦慮和概率推理關系中的調節作用．首先，判斷基準模型是否可以接受．基準模型的檢驗結果顯示，數學元認知體驗的中介效應值為–0.08，Bootstrap95%為[–0.12, –0.05]，不包括0，說明中介效應顯著．主要擬合指數為：2/=9.12，=0.92，=0.86，=0.14，=0.07．擬合指數說明基準模型擬合不好，故不接受基準模型，停止后面的步驟．

第三，考察性別在數學元認知監控中介數學焦慮和概率推理關系中的調節作用．步驟一，判斷基準模型是否可以接受．基準模型的檢驗結果顯示，數學元認知監控的中介效應值為–0.16，Bootstrap95%為[–0.24, –0.09]，不包括0，說明中介效應顯著．主要擬合指數為：2/=8.55，=0.94，=0.90，=0.07，=0.06．這說明基準模型擬合較好，故接受基準模型，繼續后面的步驟．步驟二，判斷有調節的中介模型是否可以接受．結果顯示，有調節的中介模型=15?513.27，相比基準模型（15?516.15），減少了2.88，表明有調節的中介模型相比基準模型有改善．步驟三，進行Bootstrap置信區間檢驗．結果顯示，13的置信區間為[–0.09, –0.03]，不包括0．根據系數乘積法可知，數學焦慮經過數學元認知監控對概率推理的中介效應受到性別的調節．中介效應為

1(1+3)=–0.21×(0.73–0.28)=–0.15+0.06，

隨變化．當=0（“0”為女）時，數學元認知監控的中介效應值為–0.15，Bootstrap95%為[–0.29, –0.09]，不包括0，中介效應顯著；當=1（“1”為男），數學元認知監控的中介效應值為–0.09，Bootstrap95%為[–0.19, –0.02]，不包括0，中介效應顯著．以上結果表明，與男生相比，女生數學焦慮經過數學元認知監控對概率推理的中介效應顯著增加，即性別顯著調節了中介效應的大小（見圖3）．

圖3 有調節的中介模型路徑

4 討論

消極的感覺和緊張的情況會在不同程度上影響數學任務的成功[39]．研究發現，數學焦慮和概率推理顯著負相關，且負向預測概率推理，即數學焦慮水平越高，概率推理能力越差．這與Primi等（2017）[12]的研究發現一致，也驗證了加工效能理論．當個體認為認知任務存在困難的時候，焦慮對加工效能的影響會非常明顯[40]．隨著概率問題變得越來越復雜，給學生帶來的推理任務也可能變得更加復雜[41]．許多初中生對包括概率問題在內的數學問題感到頭疼、吃力，容易產生焦慮等消極情緒．由于擔心負面后果而增加的焦慮會加重個體的執行資源負擔，降低策略使用的效率，從而導致較差的數學表現[42]．因此，為了提升青少年的概率推理水平，引導他們緩解數學焦慮，以平和的心態看待數學問題是一個值得深入探討的話題．

數學元認知在數學認知過程中具有重要作用[23]．研究發現，數學焦慮可以通過數學元認知對概率推理起作用，數學元認知在數學焦慮與概率推理關系中起完全中介作用．這一結果既驗證了研究的假設H1，也進一步拓寬了抑制型焦慮模型的適用范圍．該模型既是數學元認知在數學焦慮和數學成績之間起中介作用的理論依據[15]，也可以用于解釋數學元認知中介數學焦慮和概率推理之間的關系．當個體處于高數學焦慮狀態的時候，其數學元認知資源被占用，難以為個體解決概率推理問題提供必要的元認知資源，從而導致較差的概率推理成績．此外，從數學元認知的3個成分來看，數學元認知知識在數學焦慮與初中生概率推理關系中的中介作用不顯著，而數學元認知體驗、數學元認知監控的中介作用均顯著．這驗證了研究的假設H2．數學元認知的3個成分各有其功能．與數學元認知知識相比，數學元認知體驗和數學元認知監控對概率推理的影響更大一些．數學元認知知識涉及個體知識、任務知識及策略知識，而數學元認知體驗涉及成就感、焦慮感等數學學習過程中的情感體驗，數學元認知監控涉及評價、檢驗及管理等[43]．隨著認知任務難度的增大，學習者的認知體驗、情感體驗對解題過程中的方向、進展等調節和監控越加顯著[36]．即使個體擁有數學元認知知識，但如果不會應用這些知識，再加上如果處于高數學焦慮水平，缺乏積極的數學元認知體驗，難以進行有效的數學元認知監控，其概率推理水平也將不如人意．

有研究表明，當面對概率問題的時候，人們經常應用啟發式，而不是用正式的分析程序和技術[44]．Stanovich（2011）[45]提出的三重加工心智模型（自主心智、算法心智以及反省心智）在雙加工過程理論的基礎上增加了“反省心智”，并強調了反省心智對自主心智產生的劣質反應的壓制功能和發起產生優化反應的模擬仿真功能．研究中在對高概率推理水平的學生進行個別訪談時發現，在問題解決過程中，他們會不斷地反省．以研究中所使用的概率推理量表第4題為例：“將一枚勻質硬幣拋擲9次，則下列哪種情況最有可能發生？（H：正面，T：反面） A. THHTHTTHHB. HTHTHTHTH C. AB概率相同．”如果個體在面對這個問題的時候，犯了認知吝嗇鬼的思維謬誤，默認自主心智的加工，就會選擇“B”，因為直覺告訴個體序列“B”比序列“A”更加隨機．其實，正確答案是“C”．即選擇了概率推理量表第4題正確答案的個體在解答題目的時候通過監控、調節、評價等，可以認為其發揮了反省心智的功能，壓制了自主心智的劣質反應，再通過算法心智的功能發揮，最終做出了正確判斷——A、B兩個序列的概率是相等的．因此，可以從反省的角度，將元認知作為反省心智的一個衡量指標．

從性別的作用來看，研究發現，男生的數學焦慮水平先降后升，女生的數學焦慮水平先升后降．這可能是由于個體發育的性別差異所導致．與男生相比，女生更早進入青春逆反期，更容易出現焦慮．過了這個時期，焦慮等負面情緒體驗會有所下降．男生和女生在概率推理水平、數學元認知水平的變化特點還和個體發育及后天學習有關．在數學表現方面，小學階段之后，男生的優勢增加，這種性別差異到中學、大學階段就更加明顯[46]．Primi等（2017）[12]研究發現，在概率推理上存在顯著的性別差異，女性的概率推理表現顯著低于男性．而該研究發現，男生和女生的概率推理表現無顯著差異．這可能和選取的對象有關．前者以高中生和大學生為被試，而這里以初中生為被試．概率推理的性別差異問題有待于今后進一步探討．有趣的是，研究發現，雖然男生的數學焦慮水平顯著低于女生，數學元認知水平顯著高于女生，但概率推理水平的性別差異不顯著，而且，研究中部分驗證了假設H3，即性別調節了數學焦慮經過數學元認知監控對概率推理的中介效應．與男生相比，女生數學元認知監控對概率推理的影響更強．也就是說女生能更好地調動數學元認知監控的功能，發揮數學元認知監控對概率推理的影響．元認知的核心思想是對自己認知過程的監視和控制[47]．意識的記憶監控模型顯示，監控和自信有關[48]．一般來說，女性比男性更自信[49]．長期不同的經驗塑造了不同的腦結構和機能[50]，再加上，與同年齡段的初中男生相比，女生發育更快一些，心智更成熟一些，更懂得如何在認知活動或問題解決中整合已有的認知資源．所以，盡管在數學學習中存在性別差異，但若重視元認知訓練，增強學生的反省和監控能力，必定可以促進他們的數學學習．因此，教師面臨的挑戰不僅僅是為學生提供更多的概率學習體驗，還要提供有意義的體驗，從而促進他們對概念的正確理解[51]．在今后的數學教育和數學學習活動中，要盡可能地多給學生提供積極的、豐富的數學學習體驗，通過元認知訓練來促進學生概率推理能力的發展和數學素養的提高[52–59]．

綜上，通過對431名初中生進行調查，闡明了數學焦慮對概率推理的影響、數學元認知的中介作用以及性別的調節作用，豐富了相關研究，并為數學教育工作者和學生家長提供了借鑒和參考．與此同時，研究中也存在一些局限．首先，這里主要采用問卷法，收集到的資料不夠全面，未來的研究可以對初中生數學焦慮現狀和概率推理水平發展現狀開展焦點訪談和個案觀察，深入探討數學焦慮對概率推理的影響．其次，此研究為橫向研究，未來的研究可以選取初一年級的學生，從他們入學開始，通過追蹤研究深入剖析初中生數學焦慮水平和概率推理水平的發展變化．最后，研究發現數學元認知在中介數學焦慮對概率推理關系中的作用很大，缺乏進行進一步的干預研究和實踐佐證，未來的研究可以通過開展數學元認知水平訓練，操縱這一變量，從而在實踐層面上驗證數學元認知對概率推理的影響．

5 結論

（1）數學元認知在數學焦慮與初中生概率推理的關系中起中介作用．

（2）數學元認知知識在數學焦慮和初中概率推理的關系中不起中介作用，而數學元認知體驗和數學元認知監控均起中介作用．

（3）性別調節了數學焦慮經過數學元認知監控對概率推理的中介效應．與男生相比，女生數學焦慮經過數學元認知監控對概率推理的中介效應顯著增加．

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Students’ Mathematics Anxiety and Their Probabilistic Reasoning in Middle School: A Metacognition Related Mediation Model

SHI Zi-fu, XIE Yun-tian

(Department of Psychology, Hunan Normal University, Cognition and Human Behavior Key Laboratory of Hunan Province, Hunan Changsha 410081, China)

This study investigated 431 middle school students’ mathematics anxiety and its relationship to these students’ probabilistic reasoning using Mathematical Anxiety Scale, Probabilistic Reasoning Scale, and Mathematical Metacognition Scale. The results show that: (1) Mathematical metacognition plays a mediating role in mathematical anxiety and probabilistic reasoning; (2) metacognitive knowledge in mathematics has no significant mediating role between mathematical anxiety and probabilistic reasoning; (3) metacognitive experience and metacognitive monitoring in mathematics have significant mediating roles between mathematical anxiety and probabilistic reasoning; and (4) There is a gender moderated the mediating effect of mathematical anxiety on probabilistic reasoning through metacognitive monitoring in mathematics. Compared to male students, the mediating effect of female students’ mathematical anxiety on probabilistic reasoning under metacognitive monitoring in mathematics was significantly increased. Therefore, there is a moderating mediating effect between mathematics anxiety and probabilistic reasoning in middle school.

probabilistic reasoning; mathematical anxiety; mathematical metacognition; gender

G632

A

1004–9894（2020）04–0013–07

史滋福，謝云天．數學焦慮對初中生概率推理的影響——一個有調節的中介模型[J]．數學教育學報，2020，29（4）：13-19．

2020–03–09

湖南省教育廳科學研究重點項目——基于“三重加工心智模型”的青少年概率推理的認知機制研究（16A143）；湖南省研究生科研創新項目——青少年元認知潛在類別與數學學業成績關系的追蹤——基于潛變量混合增長模型的研究（CX20190343）

史滋福（1969—），女，山西太谷人，教授，博士生導師，主要從事思維心理學、數學心理學和心理統計學研究．

[責任編校：周學智、張楠]