上海二年級學生運用加法交換律的探索性研究

黃興豐，宋忱慊，李業平

上海二年級學生運用加法交換律的探索性研究

黃興豐1，宋忱慊2，李業平3

（1．上海師范大學 國際與比較教育研究院，上海 200234；2．上海市徐匯區向陽小學，上海 200031；3．美國德克薩斯農工大學 教育與人類發展學院，德克薩斯 77843）

運算律是小學數學運算的重要性質，對學生學習后繼數學課程具有重要的意義．圍繞二年級學生如何在不同的數學情境中運用加法交換律這個問題，采用紙筆測試與訪談的辦法對上海市區一所小學的24名二年級學生進行調查．研究發現：被選擇的二年級學生能運用加法交換律直接判斷形如“+=+”的等式成立，但是從學生所舉的例子來看，由于他們對加法認識的局限性妨礙了對加法交換律的理解．在對常規的兩位數和3位數的連加運算中，約60%的學生能運用加法交換律進行簡便計算，然而只有不到30%的學生能自覺運用交換律進行推算，這也間接地表明學生只是在行動中運用了運算律，但是還沒真正達到概念化的程度．

加法交換律；等式；簡便計算；推算

1 問題提出

加法交換律是實數域上滿足的一個基本公理，是建立實數理論的重要基石．在自然數集中，加法的交換律可以在皮亞諾公理體系下證明，是一個最基本的運算定律，與加法的結合律一起建立了自然數的加法運算法則．在小學學習加法交換律，不僅可以促進兒童對算理的理解，還可以使他們體會一般化的數學思想，為將來學習代數做好必要的準備．

早期的研究表明，對一般兒童來說，大約七八歲時產生對交換性的理解，八九歲時能抽象出交換的概念[1]．兒童通過非正式的計算經驗，可以獲得對加法交換性的認識，隨著數數等活動經驗的積累，逐漸會忽視兩數相加的順序，抽象出加法交換的特征[2–3]．在此過程中，兒童對于加法交換律的理解可能會存在多樣性．比如，無論兩個加數的位置怎么變，始終是這兩個數，所以結果不變；只是前后位置顛倒，所以答案一樣．前者著眼于結果“數字不變”，后者著眼于過程“顛倒位置”[4]．可見，在自然數集上，兒童對加法交換律的認識會涉及到如下3個要素：第一，這是加法運算滿足的性質，對于其它運算未必成立，比如減法；第二，兩個加數的特點，即等號左右兩邊加數相同，但是次序交換；第三，運算結果相等，即等號兩邊運算的結果是相等的．不少學者圍繞上述方面，在各自研究的基礎上闡述了不同的觀點．

（1）運算經驗對理解加法交換律的影響．

Baroody等認為，兒童對加法交換律的認識首先來自于他們所采用的數數方法．比如2+4，他們開始可能會從第一個數所對應的參照物數到第二個數所對應的參照物；或者接著第一個數2后，只數第二個數所對應的參照物．他們后來會從第二個數所對應的參照物開始數到第一個數所對應的參照物，或者接著第二個數4后，只數第一個數所對應的參照物．通過不同順序的數數過程，兒童最終體會到數數的結果與數數的次序無關．另外，他們也發現，兒童對加法意義的理解也會影響他們對加法交換律的認識：對于加法，可以理解為一元運算，比如在2+4中，就是在2上加4；也可以理解為二元運算，2和4相加．當學生認識到加法是二元運算之后，才能達到理解加法交換律的更高水平[5]．

（2）加法交換律源于對部分和整體的認識．

Resnick等認為兒童對加法交換律的認識起源于“部分和整體”的圖式．在量化之前（protoquantitive），他們就可以認識到一個作為整體的量可以分成兩個或更多的部分，這些部分可以合成原來的整體，而且合成的次序并不影響整體的重構．進而，兒童把部分和整體的這種圖式應用到具體量化的情境，認識到3個蘋果+5個蘋果=5個蘋果+3個蘋果．當兒童不再需要具體的對象作為參照物時，他們的認識就達到了抽象的數的水平3+5=5+3[6]．

（3）認識加法交換律中的相等關系．

Bermejo等研究發現，由于加數的交換，兒童開始會拒絕等號兩邊相等．如果他們認識到兩邊的加數完全相同，就會采用一一對應的方式進行比較，從而忽略運算的順序．此時，兒童的認知可能源于部分和整體的圖式，不過他們的認識尚處于直觀感知的水平．如果兒童能通過兩邊分別求和，判斷等號兩邊是否相等，則他們對于加法交換律的認識又上升到了一個新的水平．當兒童能清楚地表明，由于加數相同，順序不改變加法運算結果的時候，他們的認識則又向前邁進了一步，達到了形式化的水平[7]．

綜上所述，兒童對加法交換律的認識存在多個水平，是一個不斷發展的過程，他們的理解會受到多方面的影響．比如數數、加法的意義、部分和整體的圖式等．同時發現，研究者常常通過讓兒童解釋形如+=+的等式為何成立的方式，來初步推測他們對加法交換律的理解和認識．盡管目前有不少的研究數據間接或直接地支持上面各種觀點，但是也有不少證據和上述觀點不相一致[8]．這也就需要作進一步的研究．

上海在2009年和2012年的PISA測評中均取得了全球第一的成績，許多國家的學者和教師紛紛來到上海，希望找到上海教育成功的秘密．上海小學數學教學受到了國內外同行的格外關注，那么上海的數學課程在幫助兒童認識加法的交換律上存在哪些特點呢？上海的學生在運用加法交換律上的表現又是怎樣的呢？

2 上海小學數學課程的特征

上海教材在一年級第一學期就已經開始滲透加法交換的思想了．首先，在學習“分與合”一節中，學生通過雙色片探究分與合時，感受同一個數可以分拆成兩個數交換的形式，例如：6可以分成2和4或4和2．其次，在學習加法運算時，教材也特意設計了交換的情境．在加法的合并模型中，問大老虎有2只，小老虎有4只，合在一起共有幾只老虎？教材給出算式2+4=6后，問還可以列成4+2=6嗎？在添加模型的乘車游戲中，原來有3人，又上來6人，現在有幾人？再問原來有6人，又上來3人，現在有幾人？最后，教材在整體和提高的單元中，又設計了“比較”一節，要求學生比較1+4和5，4+1和5的大小，還要求學生比較3+5和5+3的大小關系，通過這些問題讓學生感受交換之后和不變的性質．在隨后的“組算式”一節中，又讓學生通過3個數字組算式（比如用3、4、7可以組成3+4=7、4+3=7），讓學生進一步體會加法運算中的交換性[9]．

直到一年級第二學期“交換”一節中，交換這一名稱才第一次正式出現．不過，此時還未作為運算定律正式給出，僅僅是一年級下冊教材最后單元“整理與提高”對所學加法內容的拓展．教材要求根據數兩部分郁金香的先后次序，列出不同的算式，求出結果．希望學生在數數到求和的過程中，初步建構“交換兩個加數的位置，和不變”的概念[10]．同時，教材又設計了“67+12=，13+67=，67+14=，15+67=，67+16=”一組算式，把交換與“+1”模式相結合，希望學生以結構化的方式來認識交換，并初步體驗運用“交換”進行推算的過程．

教材在二年級第一學期“兩位數加減法復習”的第一課，設計了可用交換律進行簡便運算的連加算式，比如18+27+32，12+26+48．不過此時教材并沒要求學生運用交換律進行簡便計算[11]．直到二年級第二學期，在“巧算”一節中，教材才用遞等式，第一次展現運用交換律計算478+243+222的過程，即先交換加數得到478+222+243，再進行湊整運算[12]．

交換作為加法運算定律是在四年級第一學期“運算定律”一節中第一次正式呈現的．教材設計了“求兩堆易拉罐總數”的現實情境，得到等式“8+18=18+8”，并通過更多舉例，歸納出加法交換律．在給出加法交換律后，教材還通過習題讓學生進一步體會運用交換律簡化計算的過程[13]．

隨著所學數系的擴充，通過類比整數的運算定律，加法交換律從整數推廣至小數．在四年級第二學期“小數加減法的應用”[14]和五年級第一學期“小數的四則混合運算”中都設計了能夠運用加法交換律進行簡便運算的習題[15]．

從課程的設計來看，上海的數學課程通過循序漸進，逐步滲透的方法，試圖在數的分與合、兩種加法模型、不同的數數次序等情境中，促進兒童對加法交換律的理解，同時又強調了運用加法的交換律進行簡便計算和推算．

那么在此課程背景下，上海的小學生理解和運用加法交換律的水平到底如何呢？具體而言：（1）他們如何判斷形如+=+的等式相等？他們對加法交換律的理解水平達到了什么程度？（2）他們能否使用加法交換律進行簡便計算？（3）他們能否依據加法的交換律，通過直接推算獲得結果？

3 研究方法與過程

3.1 研究對象

根據上述背景可知，上海二年級的學生通過教材已經初步感受了加法的交換性，但又尚未正式學習加法交換律，因此他們對加法交換律的理解可能比其它年級的學生具有更多的特點．研究這個階段的學生，對于了解學生對加法交換律的認識，更具有理論和現實意義．研究者從上海市一所小學二年級抽取被試．這所小學是上海徐匯區的公辦小學，歷史久遠，學校的教學質量在全區位列前茅，社會評價程度較高．學校數學教學嚴格按照上海數學課程設置展開教學．教師根據學生的特點，依據數學教材實施教學．學校的學生是來自于教育局劃分的學區，按戶籍入學．學生的家長以工薪家庭為主，家長大多具有本科及以上學歷．

研究者對低年級兒童運用加法交換律能力進行了探索，采用紙筆測試和深度訪談相結合的方法收集數據．一般來說，訪談的實施和資料的分析需要投入大量的時間和精力．因此采取的策略是先從小樣本開始入手，在探索的過程中積累經驗，為下一步開展大樣本的研究提供分析框架和必要參考．參與研究的學生來自研究者之一執教的3個班級，她對學生的學習情況、性格等各方面比較了解，這樣更加便于研究的實施和操作．這3個班是學校按照學生入學注冊的信息隨機分派的，因此從總體上來說，班級學生之間的能力可以看成是沒有差別的．這3個班級人數在24到26之間不等，研究者從各班抽取了學號為3的倍數的學生，一共24名學生作為研究對象，其中恰有12名男生，12名女生．這樣的抽樣可以保證被試中包含了不同能力的學生．盡管這樣的抽樣也是為了提高結論的客觀性，然而要得到一個更加一般化的結論，這些樣本的容量還是很有局限性的．

3.2 測試和訪談

正如前面提到的那樣，研究采用了抽樣調查的方法收集數據，包含測試和訪談兩部分．首先，通過紙筆測試掌握學生在各個問題上的具體表現，然后再針對學生的測試結果，通過深度訪談，弄清學生背后的思考過程，真實了解學生運用加法交換律的情況．由于二年級學生尚未學到“交換律”這一數學術語，故在實際訪談時，涉及“加法交換律”的內容，都用“加法的交換性”代替．

測試題的編制主要參考了教材內容的編排．正如前面提到的那樣，教材在設計與加法交換律有關的問題時，主要有3種類型：第一是比較兩個數交換后和的大小；第二是運用加法交換律簡便計算；第三是運用加法交換律進行推算．另外，為了探究學生對加法交換律一般性的認識，在設計測試題的過程中，研究者有意拓展到了二年級學生尚未正式學習的知識領域——3位數的加法．具體而言，測試題一共為3道大題．

第一大題為判斷題，共有4個小題，請學生判斷這些等式是否成立：（1）3+5=5+3；（2）14+37=37+14；（3）24+68= 86+24；（4）485+256=256+485．

對于第一大題，在學生判斷之后，訪談學生是如何判斷的．具體的問題是：“能解釋一下你是如何判斷的嗎？”根據前面Bermejo的研究，以及訪談的結果，把學生判別的依據分為：形式判斷、交換位置、數字相同、分別求和、及其混合方法5個類別，具體的說明和例子見表1．不難發現在“形式判斷”的類別中，學生不僅認識到了等式兩邊數字位置的交換，而且還清楚地表述了兩邊的運算類型．但是在“交換位置”的類別中，盡管他們也關注到了數字位置的交換，但是在解釋的過程中，并沒有提到“加”或“和”等關鍵的詞語．這可能意味著學生還沒有明確地認識到等號兩邊的運算類型．正如前面提到的，這樣的性質并不對任何運算都成立．在“數字相同”的類別中，學生一方面沒有特別關注數字的“交換”特點，同時也沒有關注到等號兩邊的運算類型．

表1 判別等式a+b＝b+a的依據

在訪談學生如何判斷3+5=5+3的過程中，有部分學生通過提供情境化的例子來解釋他們的判斷．然而，學生所給的例子，出現了各種不同的錯誤，這是研究者事先所未預料到的．不過，這些錯誤類型可以反映Resnick所說的學生認識的量化水平．小學兒童學習的加法交換律是從量化的情境中抽象出來的符號表達，通過對學生所舉情境例子的分析，可以深刻理解學生對加法交換律含義的認識．

第二大題為計算題：（1）37+36+23；（2）28+101+72．兩題均可運用加法交換律簡便運算，并要求學生寫出解答過程．對于第二大題，主要是針對學生書面的計算過程進行分析，判斷他們是否會運用加法的交換律進行簡便運算．需要說明的是，研究調查的時間在二年級第二學期，學生還沒有正式學習3位數的加法，更沒學習到“巧算”這一節——在這一節教材才開始用遞等式的形式，第一次展現運用交換律計算．不過在二年級第一學期第一課“兩位數加減法復習”中，盡管教材并沒要求學生運用交換律進行簡便計算，但是教師已經引導學生開始使用加法的交換律和結合律進行簡便計算．因此，對于28+101+72這題而言，如果運用加法的交換律，先算兩位數之和，即28+72=100，得到一個整百數，再加一個3位數，這樣會降低計算的難度．否則，按照運算順序先算兩位數加3位數，得到一個新的3位數，再和兩位數相加，這個對于尚未正式學習3位數相加的學生而言具有一定的挑戰性．

第三大題是：64+37=101，37+64=．對于第三大題，希望學生根據前一個等式提供的信息，能直接根據加法交換律推出結果．然后通過分析學生的計算過程和訪談，了解他們具體采用的方法．訪談是這樣進行的：如果學生沒有寫具體的解答過程，那么就問“你是如何得到這個結果的，能否解釋一下”；如果學生寫有計算過程，那么就問“這一步，怎么來的，能否解釋一下”．

4 結果與分析

在這一部分，將逐一回答前面所提出的3個問題．首先根據研究中獲得的數據和資料回答每個問題，然后再對這些結果進行分析和討論，解釋可能的原因．

4.1 運用加法交換律判斷等式

（1）學生判斷等式成立的依據．

所有學生對第一大題的判斷全部正確．有8個學生能夠運用加法交換律判斷等式成立，即能自發地準確說出“交換兩個加數的位置，和不變”（如表2）．

用“交換位置”的特點進行判斷的學生一共有6人．比如，他們會說“它們（兩個數）就是反了一下”．用“數字相同”的特點進行判斷的學生一共有5人．比如，他們會說，“這邊（左邊）的數字和這邊（右邊）的數字是一模一樣的”．在使用這些辦法進行判斷時，學生都沒有去計算等式兩邊的算式．只有1名學生4道題都通過計算判斷，當被問及“能否不通過計算判斷”時，該學生表示“不能”．有4名學生采取了混合的方法判斷等式．他們在第（1）題中是通過計算判斷的，然而在其它題中則運用了“數字相同”（1人：A17）或“交換位置”（3人：A5，A6，A14）的特點進行判斷．

表2 學生判斷等式的依據

（2）關于兒童對加法交換律理解水平的討論．

事實上判斷等式“3+5=5+3”是否成立，只涉及10以內加法．在訪談中，研究者發現，對于10以內加法這一基本事實，學生已經爛熟于胸，不必運算就可以快速（或者說自動化地）獲得兩邊之和，由此直接作為判斷的依據．當他們遇到比較大的數字時，就開始運用等式的特征進行判斷，不再進行計算．

前面提到Bermejo等人根據學生的判斷，把兒童對加法交換律的理解劃分了不同的認知水平．他們認為采用“分別求和”判斷的兒童，其認知水平，要比采用“數字相同”和“交換位置”的學生來得高．但是在這里，除了3+5=5+3之外都涉及到了多位數的加法，如果采用“分別求和”判斷，對于二年級的學生來說那是十分困難的，靈活的辦法就是根據等式的特點進行判斷，若把“分別求和”在此作為處于較高認知水平的判斷依據，那肯定是不妥當的．事實上，在Bermejo的研究中，所有算式均是10以內的兩個一位數相加，或者是20以內的一個一位數和一個兩位數相加．也許在那樣的情境中，他們對認識水平的劃分是有意義的．

從前面的數據還可以看到，學生在判斷形如+=+的等式是否成立的時候，不管數字有多少大，他們幾乎都能根據等式的特點進行判斷．不過，對于485+256=256+485涉及3位數的加法，此時對二年級學生而言，確實是一個新的情境．然而，幾乎所有的學生都可以根據加法交換律的特點，直接做出正確的判斷．按照Verschaffel的論斷，如果學生能清楚地認識到對于任何整數，加法的交換律總是成立的，那么可以推測學生的理解在某種程度上已經達到了形式化的水平，至少是他們建立在經驗觀察基礎上的結論[16]．按照這個說法，二年級的學生是否真得已經達到了這個水平？下面就從學生所舉的例子中來窺豹一斑．

（3）學生在舉例說明“3+5=5+3”中的表現．

就“3+5=5+3”這個等式，研究者請學生解釋為什么總是成立的．其中有12個學生給出了日常實例子，并作了解釋和說明．

一共有7人給出了合理的量化水平的例子．其中給出“合并”模型的有5人，分別是A3、A8、A20、A21、A23．比如，A8的例子為“5個蘋果加3個蘋果等于8個蘋果，3個蘋果加5個蘋果還是8個蘋果”．還有2個學生給出了“添加”模型的例子，分別是A13和A19．比如，A13的例子為“假如你有3個蘋果，加上5個蘋果，就是8個蘋果；而你有5個蘋果，再加上3個蘋果，也是8個蘋果”．

學生A7給出的例子是未量化的：“給他拿兩個東西，然后給他交換一下位置，還是那兩個東西．”按照Resnick的說法，這樣的認識水平會比前面的7個學生低一些．

然而，還有4個學生所舉的例子出現了問題，這些問題都與他們對加法的認識有關．比如，A4所舉的例子是“有20雙筷子和40只碗，一共是20+40=60；有40只碗和20雙筷子，一共是40+20=60”．學生把不同的量相加，最后運算得到一個和，這個和表示哪個量呢？如果不給出明確的界定，那是沒有意義的．

在A4所舉的例子中，“20雙筷子和40只碗”和“40只碗和20雙筷子”其中涉及到“筷子”和“碗”的數量是分別相等的，僅僅是改變了次序．然而A6、A14和A8所舉的例子，如“我有3只蘋果、5只梨，小明有5只蘋果、3只梨”．在現實的情境中,“我”蘋果的數量與“小明”蘋果的數量，“我”梨的數量與“小明”梨的數量都是不相等的．也就是說“3只蘋果+5只梨=5只蘋果+3只梨”在現實中是不成立的．但是對于純數字的加法“3+5=5+3”卻是成立的．由此可見，學生對于量的加法和數的加法還是存在一定程度上的混淆．這很可能會導致他們在現實情境中運用加法交換律的時候，產生混淆或者錯誤．概括起來說，盡管這4個學生都能直接判斷兩個多位數相加的等式是否相等，但是從他們所舉的例子來看，由于他們對具體情境中加法認識的局限性妨礙了對加法交換律的理解．

（4）關于數、量加法的討論．

前面提到，在教材中有這樣的問題：大老虎有2只，小老虎有4只，合在一起共有幾只老虎？2和4相加得到6，6既不表示大老虎，也不表示小老虎，只有指明6表示老虎時，這時才是有意義的．量的加法和數的加法是存在區別和聯系的．數是一個抽象的概念，自然數的加法是指如果兩個有限集合的交集為空集，那么一個集合的基數和另一個集合的基數之和等于這兩個集合并集的基數．自然數加法的概念是從具體情境中抽象出來的，在具體的情境中表現為具體物理量的相加，物理量的運算要符合現實的意義，一般來說相同單位的量才能作加減．的確，有時表面上看起來沒有問題的背后卻隱藏著不小的問題．

另外，如果再把學生關于3+5=5+3的情境解釋和他們在判斷3+5=5+3采用的方法進行比較時，那么很容易發現學生在二者之間出現了不一致．在情境解釋中，7個給出“合并”或“添加”模型的學生，他們都采用了分別求和的辦法，說明等號左右兩邊量的相等關系．而他們在判斷等式3+5=5+3的過程中卻全部采用了其它的辦法．同樣，其他5個學生也分別出現了各種不一致．這不禁讓人聯想到關于“街頭”和“學校”數學的有關研究，似乎在學生看來，生活中的數學和學校的數學是全然不同的，他們會采取全然不同的方法來處理甚至完全相同的問題[17]．

4.2 運用加法交換律簡便運算

（1）學生運用加法交換律計算的情況．

在第二大題的計算中，有13個學生運用加法交換律對37+36+23簡便運算，其中12人獲得正確結果．對于28+101+72，有14人運用加法交換律簡便計算，其中13人得到正確結果．也就是說差不多60%的學生能運用加法交換律簡便計算．這個與判斷等式相比，運用交換律的人數有了明顯的下降．

（2）關于簡便運算的討論．

事實上，在判斷形如+＝+的等式是否成立時，這些具體的等式均是加法交換律的特殊形式，具有外在明顯一致的結構特征．然而與此相比，在3個數的加法算式中，用運算律簡便計算就要復雜一些．首先要觀察這個算式中加數的特征，判斷能否湊整．然后根據加數的特征，采用運算律選擇運算的順序和運算的對象．比如，在37+36+23中，因為37和23可以湊整．為了實現這兩個數相加，先要運用交換律，交換其中兩個加數的位置，即37+(23+36)，或(36+37)+23，再運用加法的結合律，即(37+23)+36，或36+(37+23)達到湊整的目的．換言之，運用交換律簡便運算的關鍵，是要去重構算式中的運算順序和運算對象，這具有一定的隱蔽性．因此，也就導致了40%左右的學生沒能化簡計算．

那么現在有一個問題：學生在運用加法的交換律簡便計算的時候，他們是否真正意識到了他們正在使用運算律呢？Vergnaud提出了“行動中的定理”（theorem-in-action）的說法，他認為學生經常會使用他們未曾意識到的性質或定理來計算或解決問題，也就是說這些性質和定理體現在他們的運算活動中，但還沒有被他們概念化[18]．比如，學生把37+36+23等價變形為37+23+36，但有可能沒有意識到自己正在使用加法的交換律．對于這個問題，在學生推算的過程中會發現一些端倪．

4.3 運用加法交換律推算

（1）學生在推算中的表現．

所謂推算，就是在已有算式運算結果的條件下，根據運算性質和算式之間的聯系，推出相關算式的結果．在已知64+37=101的條件下，要求37+64的值．這兩者在研究者看來聯系十分緊密，但在學生看來卻并非如此．只有7個學生運用了加法的交換律推算獲得答案，其他的同學采取了不同的策略．在使用湊整法的3個學生中，其中2個學生使用了先湊整第一個加數，1個學生先湊整第二個加數．另外14個學生使用了豎式算法，12個筆算，2個口算（如表3）．

表3 學生在推算題中使用的策略

（2）關于學生在推算中使用策略的討論．

對于湊整法，一年級第二冊的教材在介紹兩位數加兩位數的時候，就明確使用了這樣的算法．比如，教材在38+25的算式中，就示范了兩種不同的湊整方法：（1）38+20=58，58+5=63；（2）38+2=40，40+23=63（P.33）．在這兩種湊整的算法中，都是把第二個加數分成兩個數之和，再把其中一個和前一個加數相加，顯然是在自然數集上運用了加法的結合律．在學生“先算37+70=107，再算107–6=101”的方法中，事實上也采用了類似的做法：把64看作是70減去6的結果，然后37和70先相加，再減去6，即37+64= 37+(70–6)=(37+70)–6=107–6=101．本質上是使用加法的結合律．另外，在學生使用湊整法“先算40+64=104，再算104–3=101”的過程中，先把37看作是40減去3的結果，然后40與64先相加，再減去3．其實是同時運用了加法的結合律和交換律：37+64=(40–3)+64=(40+64)–3=104–3= 101．同樣，對于豎式算法，本質上也是運用了加法的結合律和交換律：37+64=(30+7)+(60+4)=(30+60)+(7+4)=90+11= 101．因此，上述湊整和豎式計算的方法，事實上都運用了加法的運算律，但是在很大程度上學生并沒有意識到這一點，否則他們會使用加法交換律直接進行推算了．也許他們只知道怎么算，卻不知道為什么可以這樣算，這也就是前面提到的所謂“行動中的定理”．

這個現象還有可能的原因是：學生在判斷+=+成立的情境中，他們把等號理解為平衡相等，從而不用計算，直接做出判斷．然而在“37+64=”的情境中，很多學生看到等號就想到了計算，在這個情境下，他們對等號的認識被囿于“指示計算”的水平[19]．

事實上，推算在一年級第二學期最后“整體和提高”這一單元的“交換”這一節中，教材已經設計了不少習題，希望學生能根據加法的交換律推算計算的結果．然而從調查的結果來看，教材的設計似乎對學生產生的正面影響不大．

5 結論與啟發

加法交換律是小學數學中最基本的一個運算定律，看似簡單，其實不然．盡管學生能根據數字特征快速判斷形如+=+的等式是否成立，但是由于他們對加法的認識存在一定的局限性，因此導致了他們在現實情境中對加法交換律出現了不同程度的誤解．也就是說，即使學生能根據加法交換律判斷形如+=+的等式是否成立，也未必能說明他們真正理解了這個運算定律．在連加的計算中，近60%的學生能根據數字的特點，運用加法交換律進行計算，但是在簡單的推算活動中，差不多70%的學生卻沒有意識到可以直接使用交換律得到結果．結合這兩點來看，很多學生可能在使用運算律的過程中，還沒有真正意識到他們在使用運算律．或者說，加法的交換律還沒被學生概念化和結構化[20]．從這個角度而言，學生對于加法交換律的理解確實是一個逐步發展的過程，并不是一節課、幾個活動、幾個練習就能解決的問題．上海教材從一年級開始一直到五年級逐步滲透交換律充分考慮了學生的認知特征，這樣的做法是可取的．

當前不同版本的教材均在四年級正式引入加法交換律這個概念，并使之符號化、一般化．教材一般的處理方式，首先是創設一個現實的情境，比如前面提到上教版是計算兩堆易拉罐的總數，江蘇版是數兩人跳繩的總數[21]，人教版是計算兩次行程的總長[22]．然后再根據不完全的歸納，得到加法交換律的一般表達．不少教師也按照這樣的思路展開教學．不過，張奠宙等指出，如果僅僅是通過不完全歸納展開教學，那么并不能講清楚為什么加法交換律在自然數集上是成立的，他們認為數數活動才是認識的本源[23]．事實上，項武義也曾采用數數的方法解釋加法的交換律[24]．其實，上海、江蘇的教材如果能對數易拉罐、數跳繩個數的情境略加拓展，完全可以實現這一點．不同的是，人教版使用的是計算兩次長度之和的情境，這也是一個不錯的辦法．伍鴻熙就用線段模型來解釋加法交換律，一條線段長度記作，另一條線段長度記作，把兩條線段按照不同的次序連結起來，總長度不變就可以解釋+=+[25]．線段模型的好處在于可以表示連續的量，可以在實數域上解釋加法的交換律．

最后，需要特別指出的是，這個探索性的研究也引發了許多值得研究的新問題．比如，為何學生在具體情境中解釋加法交換律的時候，會出現這么多的困難？為什么學生很少直接運用交換律進行推算？這些現象在二年級的學生中是否具有普遍性？隨著學習的繼續，這些問題會發生改變嗎？不同教材對加法交換律的設計有何特點？對學生理解和認識交換律會產生什么樣的影響？

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[責任編校：陳漢君、張楠]

An Exploratory Study of Second Grade Students’ Learning and Using the Commutative Property of Addition in Shanghai

HUANG Xing-feng1, SONG Chen-qie2, LI Ye-ping3

(1. Shanghai Normal University, International and Comparative Education Research Institute, Shanghai 200234, China; 2. Shanghai Xuhui District Xiangyang Primary School, Shanghai 200031, China; 3 Texas A&M University, College of Education & Human Development, Texas 77843, USA)

Arithmetic operational properties are important in elementary school and play a significant role in students’ further studies in mathematics. To address the problem of how students apply the commutative property of addition in different mathematical situations, this study was designed to investigate 24 second-grade students in an elementary school in Shanghai using a pencil-and-paper test and individual interviews. The research found that select students in second grade could use the commutative property of addition to directly judge whether an equation, such as “+=+,” is established. About 60% of the students could utilize the commutative property of addition as a short-cut strategy to quickly calculate addition involving two-digit and three-digit numbers, but they had some misconceptions in realistic contexts because of their limited understanding of addition. However, only 30% of the students could consciously use the commutative property of addition in computation deductively. The results suggest that many students are able to use the commutative property in direct computation, but they haven’t achieved a conceptual understanding of the commutative property.

commutative property of addition; equation; short-cut strategy for computation; deductive computation

G421

A

1004–9894（2020）04–0038–06

黃興豐，宋忱慊，李業平．上海二年級學生運用加法交換律的探索性研究[J]．數學教育學報，2020，29（4）：38-43．

2020–02–12

2016年度上海市教育科研市級課題——發展小學兒童代數思維的行動研究（C160050）

黃興豐（1974—）男，江蘇南通人，副教授，博士，碩士生導師，主要從事中小學數學教學研究．