基于數學教學“二重原理”的弧度制教學設計形成研究

常春艷，白慧超，湯志娜

基于數學教學“二重原理”的弧度制教學設計形成研究

常春艷，白慧超，湯志娜

（廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

從數學史的角度遵循“教與數學對應”原理，明晰數學概念產生的實際問題背景和意義，結合“高中學生數學認知現狀”遵循“教與學對應原理”，創設核心問題，構建教學設計路線圖，并以個案研究的形式分析教學設計的改進流程，形成體現數學思想方法的教學設計，為數學教師進行教學設計提供可借鑒的參考模式．

弧度制；數學史；數學教學的二重原理

數學教學二重對應原理包括“教與學對應”原理和“教與數學對應”原理[1]．它可以幫助教師將教材中抽象的數學問題變成易于學生掌握的數學知識,形成“教會學生思考”的數學教學設計．但是對于教師如何將原理體現在教學設計并有效應用于課堂教學實踐,常常出現“易想難做”的困惑局面．

1 教學設計現狀

教師往往依托于教材進行數學教學設計，為此以弧度制為例，從“數學史”的角度切入，分析一下教學設計的“數學史”呈現情況．如表1所示：3個版本的教材從“弧度制”的章節安排上看，都是在“任意角”概念后，但是所呈現的和“弧度制”相關的數學史卻明顯不同．“北師大版”選擇的數學史內容通過“統一單位”講明了“弧度制”的由來，又用“有利于數學問題的表示和研究”說明了它的用途．“人教版”選擇了歐拉的著作更直接點明“弧度制”的數學用途——簡化三角公式計算,也就是指向了“弧度制”的應用．這樣看來教材試圖告訴讀者弧度制從“哪里來”，到“哪里去”？“蘇教版”并未直接選用“弧度制”的相關數學史內容，但通過“巴比倫”對角度和圓的關系劃分，鋪墊了“弧度制”的起源．

然而教師們想要將這種思想通過教學設計體現在課堂教學中時，就發生了變化．為此選取百度文庫上評分為5.0的10篇“弧度制”相關的教學設計和一篇獲獎的說課稿,發現直接選取數學史內容進行教學設計的只有2篇，其中一篇“創設情境，設置疑問”中提到三國時王肅編的《孔子家語》一書中記載有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知尋．”[2]一篇依據數學史“弧度制”產生的史料，設計了5個案例，幫助學生理解“弧度制”概念的本質．其它9篇設計中都沒有涉及“弧度制”的相關史料和數學思想．

若將這些教學設計進行課堂教學實踐，就會出現：將相關史料以故事的形式作為課前導入，或者課中圖片展示，又或者課后史料補充，這樣既有可能忽視了“數學史”所體現的數學思維方法[3]，也因缺失了學生的互動，錯過了“教學生成”的教育智慧，最終都有可能將偏離“教會學生思考”的最終目標．因此，掌握體現“數學”的教學理論基礎就尤為必要了．

表1 不同版本《弧度制》中數學史內容比較

2 理論基礎

數學教育具有一般教育過程的性質[4]，又具有自身特殊過程的性質，這種雙重性質的數學教育過程構成了數學研究的對象．建立于這樣的思想基礎，數學教學問題的研究就得以沿著“教與學對應的原理”和“教與數學對應的原理”的理論基礎進行設計，這樣才能更好地幫助學生理解“弧度制”概念本質，才有可能更好地應用弧度制解決數學問題和實際生活問題．

2.1 教與學對應

“教與學對應”的原理指出[5]，數學教學需要根據學生的“學”來確定教師的“教”，即根據學生的基本學情和課堂的應然表現，來確定教學的目標、內容、方法和流程等．這樣看來盡管“弧度制”概念是統一的，但是基于不同學生的理解，就需要設計出符合學生認知規律的教授內容．而了解他們的認知難點是最直接獲取學生數學認知規律的方法．其實對于大多數學生而言，弧度和角度的換算并不是理解上的難點．事實上，很多高中學生對于弧度制的概念和弧度角的概念比較難以辨析．這是因為在日常生活中，他們已經熟練掌握了用角度制來衡量角的大小，熟悉了角度制的應用．所以根據這個認知現狀，要從學生的生活情境出發，完成從已知的角度制到未知的弧度制的認知同化．

2.2 教與數學對應

數學教學不是僅僅研究“教學”，更要研究教育中的數學，要把教育與數學的本質對應起來．就數學的本質而言，它和形式是事物存在的兩個方面．本質是事物本身所固有的根本屬性，形式是事物內容的組織結構和表現方式．對于一個數學對象（概念、法則、公式、定理等），它的形式可能是多樣的、可變的，它的本質卻始終是恒定的、不變的．這就是說，數學的學習，不僅要學習它的形式（記住符號），更重要的是把握它的本質（理解其在特定范圍內始終不變的特質）．就“弧度制”的本質理解而言，從數學史的發展，更容易體會到它不同于教材中靜態的定義表述，它是一個動態的發展過程，伴隨數學學科的發展，它的本質逐漸顯露．

首先，它具有“問題”本質[6]．它起源于實際的天文學問題，應用于廣泛的幾何問題．而且伴隨科技的發展，這一概念將會表現出更豐富的內涵．所以圍繞“問題”展開教學設計，讓學生理解“弧度制”問題的緣起、發展和應用，既有利于學生對弧度制本質的把握，又可以起到建構新知識的導航作用．

其次，它以“比值”的形式將角數值化，從非連續的自然數集轉化成了具有連續性的實數集．可見，同一數學對象的不同表達形式正是變更非本質特征的表現方式，從不同側面突出了數學對象的本質特征．如果在概念學習中，注意從不同角度對對象的不同表現形式進行一系列的加工處理，形成以相關屬性為紐帶的網絡結構，那么，在不同的情景中就可以根據問題的形式和內容，提取出相應的有針對性的處理策略，就易于真正把握數學對象的本質．所以“比”是其根本屬性，而“比”的本質，又要求兩個數量關系單位一致，這就為“角度制”向“弧度制”的轉化提供了自然過渡．

基于以上分析，制定以下教學設計框架．

3 教學設計框架建構

3.1 圍繞二重原理預設教學設計

由“教與學對應”和“教與數學對應”的二重原理進行弧度制的教學設計[7]，要遵從學生的認知現狀和數學問題本質進行內容整合．

（1）基于學生認知創設教學情境，體現“教與學對應”．

首先，學生已有的數學知識和認知經歷如表2．

從表2中可以看到學生已有：圖形中角的概念和π的初步認識，0°~360°角的認知和畫法，以及π和圓的關系．同時，在學習上述內容的過程中，學生已有角的相關認知經歷：從靜態角的定義到動態學習經歷；部分學生了解無理數“π”和“角”的關系；初中的銳角的正弦、余弦和正切計算方法等．這些都直接有利于“弧度制”概念同化．

表2 與“弧度制”相關的教學內容

其次，為了學習未知的“弧度制”這個新概念，要明確采用哪一種概念教學模式更為適合？這就需要根據學生的認知結構現狀選擇適合的“概念同化”和“概念形成”模式進行教學設計（如表3）．

表3 “弧度制”概念的教學模式

根據預設內容，就可以圍繞這一概念教學模式進行相應的教學設計內容安排，比如概念同化要創設的情境，是便于利用先前的認知結構從角的認識上進行上位學習，明確“角度制”和“弧度制”是同一個事物的兩個不同表達形式．而概念形成則要圍繞實際生活中“角”的應用實例去感悟“弧度制”存在的必然性與合理性．

（2）基于數學史料設計核心問題，體現“教與數學對應”．

教學設計中的情境不僅要考慮學生的接受程度，更要尊重數學史實，盡可能地揭示數學問題本質，即要滿足“教與數學對應”原理．它主要指教學的內容與數學知識對應，教學的知識結構與數學知識結構對應，教學情境與數學對象的本質對應，教學的思維方法與數學思維方法對應教學中的研究方法與數學研究方法對應，教學中的表達方式與數學表達方式對應．在教學中把握核心概念和教數學的“大方法”．

因此，以“弧度制”概念教學而言，要明確它“比”的本質，要熟悉把握“角”的度量中，不同單位制下的表達形式和表達形式之間的聯系，進而解決“弧度制”的核心問題．這就需要根據數學史進行情境創設揭示“角”的變化特征，既有利于學生在情境中獲取“角”直觀表象，又與實際問題相聯系．為此，首先通過數學史的文獻的閱讀[8]，挖掘相關弧度制中蘊含的數學知識和數學問題，然后根據教學目標，梳理出弧度制的核心問題，如表4所示．

3.2 圍繞核心問題形成教學設計框架

確立“為什么”和“有什么用”是“弧度制”課堂教學的核心問題后，教師需要結合教學現狀，利用教材創設情境，使這兩個問題成為課堂教學的“驅動力”，既要它驅動學生朝著解決這兩個問題的方向不斷深入思考，逐步揭示弧度制的概念本質，又要它引領教師通過解決這些問題，教會學生學習更一般數學概念的科學研究方法．

（1）直線型教學設計．

表4 “弧度制”教學設計預設核心問題

圍繞人教版的教材內容，采用概念形成的形式進行問題情境設計，根據數學史所體現的科學和數學價值[9]，以及便于學生更好聯系實際的生活價值，形成如下教學設計的框架，這就需要根據這個標準選擇弧度制的例子（如表5）．

表5 弧度制的“直線型”教學設計框架

（2）循環型教學設計．

靈活地將教學內容以循環的方式體現出來，從數學史的材料中選取一些角度制無法解決的問題，將其用“數學化”的方法，通過計算，發現新的度量角的方法——弧度制．再通過合適的數學模型思想，建立“弧度制”的應用，與角度制的應用呼應，做到從“產生問題出發，回到解決問題”，有助于學生形成解決一般問題的科學研究方法中來．這種設計可以看作是一種“概念同化”的教學方式，需要學生對角有一定的認知結構和相應的運算技能，便于在解決問題的過程中，更好地理解“弧度制”的“比值”本質（如圖1）．

圖1 弧度制的“循環性”教學設計框架

4 教學設計的實踐

根據預設的教學設計框架，依托某校高二學生的認知基礎，教師A選取數學史的相關內容，完成“弧度制”的教學設計，并針對“核心問題”不斷修訂，進而通過課堂教學實踐檢驗逐步完善．

4.1 教師的教學設計初稿

教師A圍繞“弧度制從哪里來？”和“弧度制有什么用？”教學設計初稿配圖如圖2．兩個核心問題梳理對相關的數學史實進行梳理，在課堂教學中形成了如下教學片段．

圖2 弧度制教學設計初稿配圖內容

【片段1】以“古希臘對正弦定義”形成認知沖突，引發學生興趣．

【片段2】“托勒密的部分弦表”[10]，讓學生直觀看到“度可以是弧長的單位”

【片段3】數學家阿耶波多弧長與弦長均采用60進制，但是他們的單位卻是不同的．圓周長是分為360份，以1/360為單位，而弦長是在將半徑分為60等份，取半徑的1/60作為長度單位．

做出如上的設計是因為教師主要考慮到下述教學問題．

（1）如何理解弧度制的概念？可以從“了解弧度制出現的原因”開始學習，如片段1、2、3．

（2）如何能對弧度制的適用性有更加深刻認識？參見片段4和5．

（3）如何從心理上更自然地接受弧度制？

從圖2中進一步分析可以看出，弧度制概念形成過程的合理性：從圓心角所對的弦和弧考慮，到圓心角所對半弦，再到圓心角的一半所對弦的猜想，清晰的表明了人類對“角”大小衡量方法的思維變化．但是以下問題值得深入分析．

Q：弧度制的本質是什么？

A：用“邊”的關系描述角．

Q：邊的什么關系呢？

A：比值．

Q：弧度與角度的異同？

A：都是描述角的大小，單位制不同！

Q：弧度制的產生過程的數學思想是什么？

A：統一單位，化曲為直．

結合這樣的分析，教師A對圖2所采用的配圖提出質疑，擔心學生認知水平不夠，難以理解，于是依據“教與學對應”和“教與數學對應”的雙重原理基礎，回到“弧度制”概念本質，修改教學設計．

4.2 教師的教學設計修改版

考慮弧度制的本質是一個比值，采取概念同化的方式，借鑒數學史資料提供圖3所示的配圖，便于學生發現“弧度制”概念緣起．

圖3 弧度制教學設計修改稿配圖內容

【片段6】請學生說出角在哪里？根據配圖，可知在學過的直角三角形、圓、球中，是從簡單的圖形中認識角．但古人卻是從復雜的圖形中認識角的，這就是托勒密研究天文學中發現和應用的角．

【片段7】無論在哪個圖形中，都要明確一個目的角的用途什么？度量！度量所在圖形中的各個線段的長度，面積大小等．那么在三角形中的角，可以通過量角器，銳角的正弦公式計算而得，在圓和球中呢？為了研究問題的方便，僅研究這個圓中的角還有什么別的方法能進行度量？

【片段8】啟發探究，在圖3中，怎么進行度量角的大小呢？沒有直角三角形，就構造直角三角形，所以出現了弦長的關系，順其自然介紹數學史上各位大家的方法．

教師A利用概念形成的教學模式，借鑒正弦的“比”的概念，推導出弧度的比，若能啟發學生說出，角的大小是通過“曲線與直線”的比轉化成“直線比直線”的關系而加以界定，“弧度制”的概念本質將更加清晰．

4.3 課堂的教學設計實踐

為了更好的突出“弧度制”的概念本質，教師A再次明確弧度制的教學目標為下述3個：（1）體會“度”也可以用來表示“弧長”；（2）理解弧度制出現的來由，理解角的概念；（3）體會弧度制在高中學習中的實際應用．為此確立了新的教學思路為：弧長用“度”來衡量—弦長由“半徑”求出—弦長與半徑單位不同（量直線與曲線單位不同）—統一弧長與半徑單位—托勒密的方法—阿耶波多的方法—歐拉方法—弧度角的定義—總結弧度制的意義，并最終選擇了以下教學配圖，通過課堂教學實踐進一步完善，形成下述教學片段．

圖4 弧度制教學設計課堂實錄稿配圖

【片段9】試用不同單位制度量同一線段AB的長度，啟發學生進行類比思考嘗試認識同一角度的不同表述．

【片段10】同學們先看下圖，老師畫出了一個角，角度為30°，我現在請一位同學來給我標記一下．

【片段11】師：現在對于一弧度角的描述，你明白了嗎？結合圖5，我們可以計算出1弧度角和角度角的關系，所以1 rad角比1°大很多呢！

另外弧度制還可以應用于簡化物理學中圓周運動相關公式，以及高等數學部分極限公式和微分公式。這些都是弧度制為我們提供的便利應用，它不僅簡化了公式便于計算，更為科學合理地描述事物本質提供了思維方法．

圖5 一弧度角

通過觀摩課后教師評價反饋，這樣的教學設計創新度高，體現數學思想方法及數學問題的應用，是一次很好的嘗試．但是鑒于學生的認知程度不同，有些細節還需要不斷完善．比如考慮正弦函數自變量時，只能選用“弧度制”表示角的范圍，這是由函數定義決定的．但學生們往往會忽視“兩個非空數集”的本質屬性，錯用“角度”表示，實際上嚴格的“1°”表示的一個圖形，而非“數”．

5 啟示

通過課堂教學實踐，教師們不僅發現數學史應用于教學設計對學生數學能力的提升空間很大，比如“托雷密弦表”中的（0.5°）的弧長對應著0°31′21″是怎么算來的？這樣細節的問題，若師生合力探究，不僅加深“弧度制”的理解，而且解決這個問題的過程中用到了“托雷密定理、托勒密弦表、60進制與10進制的轉換、圓內接正多邊形的做法”等知識，充分實踐了“發現問題，解決問題”的有效策略．其次將數學教與學“二重原理”貫穿于數學教學設計，絕非一件易事，它不僅需要精通數學，更要依據學生的認知現狀將教室外的天文、大自然與日常生活等現象，經過長期的觀察和體驗，形成教室內的數學問題，然后圍繞數學問題的本質，數學問題所蘊含的思想方法，通過數學教學原理的設計應用，讓學生更好的理解數學概念，更有效的解決實際問題．

[1] 涂榮豹．“教與數學對應”原理的實踐——對“函數單調性”教學設計的思考[J]．數學教育學報，2004，13（4）：5–9．

[2] 風雨56910．弧度制教學設計[EB/OL]．（2018–06–29）[2018–10–21]．https://wenku.baidu.com/view/095674cd9ec3d5bbfd 0a745a.html?from=search．

[3] 汪曉勤，張小明．HPM研究的內容和方法[J]．數學教育學報，2006，15（1）：16–18．

[4] 涂榮豹．試論數學教育研究的規范性[J]．數學教育學報，2003，12（4）：1–5．

[5] 中央教育科學研究所．陶行知教育文選[M]．北京：教育科學出版社，1981：77．

[6] 沈威，曹廣福．高中三角函數教育形態的重構[J]．數學教育學報，2017，26（6）：14–21．

[7] 鄭慶全，涂榮豹．數學教育研究的“雙向建構”和“二重原理”思想的實踐[J]．數學教育學報，2008，17（6）：33–36．

[8] 徐章韜．基于數學史的弧度制概念的教學設計[J]．湖南教育，2008，12（1）：41–42．

[9] EVES HOWARD. Great moments in mathematics (Before 1650) [M]. The Mathematical Association of America, 1980: 1.

[10] 蔡聰明．星空燦爛的數學——托勒密如何編制弦表[J]．數學傳播，1999（90）：57–67．

Design-Based Research on Instruction of the Topic of Radian Measure with Respect to the Dual Principle of Mathematics Education

CHANG Chun-yan, BAI Hui-chao, TANG Zhi-na

(Department of Mathematics and Information Science in Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

This study presented the background and significance of the historical development of the topic of radian measure. In consideration of “teaching corresponding to learning” and “high school students’ mathematical cognition”, we attempted to create key instructional tasks and established a map for instructional design. We then analyzed and modified a teaching case so as to provide a detailed process model for teaching, which reflects historical development of the topic.

radian; history of mathematics; dual principle of mathematics education

2020–02–06

2018年度廣東省高等教育改革項目——基于新師范建設的數學教學技能訓練模式和路徑研究（粵教高函【2018】180號–458）

常春艷（1977—），女，山西太原人，博士，副教授，主要從事數學課程與教學論及數學教育心理學研究．

G421

A

1004–9894（2020）04–0034–04

常春艷，白慧超，湯志娜．基于數學教學“二重原理”的弧度制教學設計形成研究[J]．數學教育學報，2020，29（4）：34-37．

[責任編校：陳漢君、陳雋]