如何基于教材進行主題拓展教學

蔣守成

教材作為教學權威、穩定、直接、系統的課程資源，為學生的數學學習活動提供了主要內容、基本線索和知識結構，也承載著數學課程改革的基本理念和具體要求。基于教材的主題拓展教學就是從教材出發，以主題為驅動力，通過超級鏈接，不斷拓展關聯的未知領域，增長學生的見識，構成新體系，形成新見解。這一過程充分調動學生的認知能力和思維能力，促進學生把分散的、零碎的知識系統起來，培養結構化的思維方式，提升學習能力。

一、如何確定主題

根據教學進程，依據學生年齡特點和已有的生活經驗，師生共同確定主題，選擇素材，教師據此規劃教學進程。一個主題可以聚焦于一個核心內容，但其內容要有典型性和擴張力。例如，學完《十進制》后，以《五進制》為主題，讓學生明白一個數量可以用不同的進制系統來表示，雖然呈現的樣式不同但數量是不變的。一個主題也可以聚焦于一個專題進行研究，將幾個相關聯、有層次的素材組合成有機的整體。例如，學完《因數和倍數》后，以《有趣的數學猜想》為主題，將小學生能懂的三個數學猜想進行有序組合，讓學生經歷數學猜想的完整過程，感受數學理性的魅力。

二、如何把握主題拓展的三個“度”

主題拓展教學是基于主題對知識內在結構的逐層深化的學習，本質是促進學生高階思維能力的發展。

1．達成知識學習的充分廣度。

充分的廣度與知識產生的背景相關，與知識對人生成的意義相關，與個體經驗相關。一個主題的拓展能夠讓學生明晰問題的來龍去脈，明白“是什么”“為什么”“還可以怎么做”。像這樣抓住了問題的核心，才能真正解決問題。就一節課而言，拓展的廣度由其教學目標和學生可能達到的水平決定；就某一主題而言，可以說是無限的，倡導學生進行無邊界學習。

2．達成知識學習的充分深度。

充分深度與知識所表達的內在思想、認知方式和具體的思維邏輯相關。具體地說，主題拓展倡導的深度，不是單純增加知識數量與難度，最佳的深度應當是學生的自學水平與教師、同伴幫助下能夠達成的學習水平之間的落差，應為學生提供帶有挑戰性的主題學習內容，創造學生主動思考的事件，發揮師生“學習共同體”的潛能，在過程中逐層深化。

3．達成知識學習的充分關聯度。

充分關聯度是指知識學習指向與多維度地理解知識的豐富內涵及其與文化、想象、經驗的內在聯系。主題拓展的關聯度就是要通過主題幫助學生打通數學學科知識的內在關聯，打通數學與其他學科之間的關聯，打通數學世界與生活世界的關聯，促進學生自我構建數學主題系統。

三、如何基于教材進行主題拓展教學

主題拓展教學不是簡單地增加知識點，也不是簡單地增加教學時間，而是在數學學科教學時間總量不變的前提下，以培養學科關鍵能力為目標，依據學生認知規律和知識發展規律，基于主題優化整合教材內容，將教材呈碎片化的知識串成“知識鏈”，引導學生從系統上把握知識點，并逐步將知識內化，形成學習能力，發展核心素養。

1.以核心知識為主題整合教材：知識建構。

學生學習過的知識有些是碎片化的，有些是圍繞某一主題相互聯系起來形成一定的知識單元存在的。數學家華羅庚說：“找另一條線索把舊的東西重新貫穿起來，這也是一種很好的學習方法。”我們根據知識點之間的內在聯系和前后課時知識間的內在邏輯關系，以核心知識為主題整合教材內容，將“碎片”納入主題結構，減少知識點之間的跳躍性與重復性，幫助學生探究知識的來龍去脈，“串珠成線”，促進學生“編織”屬于自己的知識結構。

例如，學習《圓》這一單元后，教師都有這樣的經驗，學生對圓相關問題正確率很高，但對半圓相關問題反復練習多遍，錯誤率仍然居高不下，究其原因是學生對這類數學問題的核心知識并沒有真正理解。為此，我們設計了主題拓展課《半圓》，以貫通圓、半圓、扇形之間的內在關聯。

活動一：在操作中明晰概念。

師：請同學們畫一個半徑為2厘米的半圓，說一說它有什么特征。（半圓是由一條直徑和半圓弧組成的圖形，它是特殊的扇形，具有扇形所有的特征。）

活動二：在研究中形成方法。

師：請同學們求出你畫的半圓的周長和面積，并說一說求的方法。（形成半圓的周長、面積的一般方法，同時學生在比較中發現內在的區別。）

延展探究一：半個半圓（也就是四分之一圓）的周長和面積（特殊的扇形）；

延展探究二：八分之一圓的周長和面積（特殊的扇形）；

延展探究三：扇形的周長和面積。

活動三：在解決問題中鞏固。

研究長方形和最大的半圓的關系。在一個長是a、寬是b的長方形中畫一個最大的半圓，它的周長和面積取決于這個長方形的長還是寬？

活動四：在實踐中運用。

解決跑道、窗戶、圍半圓形養雞場的相關實際問題。

以核心知識為主題進行拓展，展現網絡樣態，有力地拓寬學生的認知視界，讓學生站在系統的角度明晰聯系、關注區別，促進學生系統化、結構化的思維方式的形成。這一類基于核心知識的主題拓展教學我們進行了很多實踐，例如：以《錢生錢》為主題，涉及利息、納稅、促銷等理財知識；以《四邊形》為主題揭示了四邊形的共性和個性。

2.以典型習題為主題貫通教材：習得方法。

學生在獲取一類數學知識的時候經常采用相同的學習方法，因此，我們以典型習題為主題幫助學生從“碎”到“統”，增強學習數學的整體意識，從整體上對某一類問題進行分析，構建數學模型，深化對知識本質的理解，并領悟一些基本的數學思想方法。

例如，人教版小學數學一年級下冊第73頁有一道“*”號題。

在解決這個問題時，有的學生嘗試得到結論，有的學生通過分析發現未知數與已知的兩個數的差有關，然后再嘗試得出結論。知識的背后缺乏有效的方法，知識可能成為沉重的負擔，因此需要我們幫助學生理解其中的算理，構建這一類題的數學模型，形成一般的思想方法。

人教版小學數學一年級下冊第68頁“練習十五”中安排了一道與其相關聯的思考題，它們本質上是一樣的方法模型。思考題的數學化表達：芳芳-3=平平+3，也可以用畫圖法讓學生進一步發現：芳芳給平平3枚郵票，兩人的郵票就一樣多了，也就是“芳芳比平平多2個3枚”。

于是我從思考題出發將這兩個問題進行貫通，設計了《怎樣分同樣多》一課，創設問題情境，緊扣問題層層展開，在情境中學生明白要分的同樣多就要把多出的部分分成相等的兩份，一份給自己，一份給他人。這樣步步深入，在畫圖中明晰算理，在具體問題解決中積累方法經驗。學生掌握了解決問題的方法，自主學習才有了可能，在以后的學習中遇到相似的問題，比如和差問題、差倍問題，就不再需要依賴教師，通過獨立思考，就能輕松將問題解決了。

3.以《經典問題》為主題深化教材：提升能力。

基礎知識貴在求聯，關鍵的能力貴在求通，我們以《經典問題》為主題，通過拓展融合不同版本教材、古今中外主題資源來優化教材結構，打破課時、單元、年段的邊界，讓學生在認知活動不斷發展和深入的過程中，觸類旁通，提升解決問題的能力。

例如，“鋪地錦”是明代的一種乘法計算方法。教材“你知道嗎”欄目中涉及了這一經典問題。對乘法計算無論是教師還是學生總有一些固有的認識，例如：計算乘法要按規范寫豎式、數位要對齊、要從低位算起，但對于形成這樣的算法背后的算理缺乏本質的思考。所以，我以《鋪地錦》為主題，以人教版的“格子乘法”，北師大版的“臺灣豎式”“古印度豎式”“畫線法”，還有古代的籌算為素材，讓學生從鋪地錦出發，經歷乘法計算的再創造過程。

再創造的過程也是對乘法計算方法歷史演變過程的深刻體驗，學生可以感受到乘法計算方法隨著歷史一步一步演變到今天，經歷了一個不斷優化的過程。這一過程帶給學生三方面的收獲：一是打破學生對乘法計算的固有認知，原來計算不僅可以從高位，還可以從低位，還可以用畫線等不同方法進行計算，在經過比較推理的過程中明白乘法不一樣的記錄形式和計算方法，感受到算法的多樣化和計算法則的流程化；二是在各種計算方法的對比中，讓學生體會到雖然算法不同，但背后的算理是相通的，都可以用算理來貫通算法，體會到算理的統一化，提升了學生對運算方法本質的理解；三是由乘法計算引發對加法、減法和除法計算方法的思考和探究，例如“加減法一定要從低位算起嗎”“除法一定要從高位算起嗎”等問題，進而發現方法背后更有意義的算理的價值，全面提升學生的運算能力。

基于教材進行主題拓展教學，除了以上三種方式，我們還可以這樣設置探究主題，例如，以教材“你知道嗎”等欄目為主題，打通數學學科內在的關聯；以探究實踐為主題，打通數學與其他學科之間的關聯；以生活現實為主題，打通數學世界和現實世界的關聯。