例談解題教學中數學思維的培養

王佳佳

【摘 要】解題教學一直是中學數學教學的重點，數學家波利亞的“怎樣解題表”是一部經典的“啟發法小詞典”，對怎樣解題做出了系統的研究，波利亞的解題理論不僅指引了解題的思路，從中更體現出數學思維的重要性.本文將從解題教學過程中的具體實例出發淺談數學思維的培養。

【關鍵詞】解題教學;數學思維;培養

思維品質是思維發生和發展中所表現出來的個性差異，它是個體在思維活動中智力特征的表現，數學思維品質主要是指學生在數學學習過程中思維方式和思維習慣的個性化表現形式。數學教學過程中的解題教學是學生數學思維得以培養的重要途經，接下來將結合具體例題淺談教學中數學思維廣闊性、深刻性、靈活性的培養。

一、一題多解，培養思維的廣闊性

思維的廣闊性是指在思維活動中思路寬廣，對一個問題可以多層次多角度地考慮，對一個題目能想出各種不同的解法，把握整體，同時抓住細節，即通常所說的“一題多解”。

【例1】已知x，y∈R+且滿足x+y+3=xy，求xy的取值范圍。

【分析】解法1：根據題目中出現的“x+y”與“xy”自然聯想到均值不等式■≥■。

因為x，y∈R+，所以根據均值不等式有x+y≥2■，那么xy≥2■+3，

即（■）2-2■+3≥0，得到■≥3，從而xy的取值范圍是xy≥9。

解法2：根據題目中的“x+y+3”聯想到三元均值不等式■≥■。

因為x，y，3∈R+，所以根據三元均值不等式有x+y+3≥3■，那么xy≥3■，

即（xy）3≥81xy，得到xy的取值范圍是xy≥9。

解法3：分析題目的條件與問題，要求xy的取值范圍，可將xy二者中轉化成為其中一個的函數，運用函數的思想求解。

由x+y+3=xy可得到y=■，從而xy=x·■=■=（x-1）+■+5≥2■+5=9（其中因為y>0，所以x>1）

解法4：令條件x+y+3=xy=k，則聯想到方程，利用方程有解的條件從而得到xy的取值范圍。

令x+y+3=xy=k，那么x+y=k-3。根據韋達定理構造出關于未知數m的一元二次方程m2-（k-3）m+k=0，并且該方程有兩個正實數根x與y。

再根據一元二次方程與相應二次函數的關系，令f（m）=m2-（k-3）m+k，

則有△≥0■>0f（0）>0，得到k≥9，即xy的取值范圍是xy≥9。

解法5：根據解法4的思路點撥，函數往往與圖像相聯系，故易聯想到圖像法，可以考慮利用數形結合的思想方法解答本題。

令x+y+3=xy=k，分別整理后得到兩個函數y=-x+k-3（k>0）與y=■（k>0）。

前者的圖像是一條直線，后者的圖像是雙曲線的一支，當二者有交點時，k存在;當二者圖像相切時，k最小，切點為（■，■），代入x+y+3=xy得2■+3=k，此時k=9，■=-1（舍去），所以xy的取值范圍是xy≥9。

二、深入分析，培養思維的深刻性

思維的深刻性是指思考問題時能夠發現事物的實質、分清事物間相互關系與發現隱藏情況的能力，包括思維活動的廣度、深度和難度。

【例2】已知m為有理數，且方程x2-4mx+4x+3m2-2m+

4k=0的根為有理數，求k的值。

【分析】首先考慮整理原方程為x2-4（m-1）x+3m2-2m+4k=0，

則整理后關于x方程的判別式為，

△1=[-4（m-1）]2-4（3m2-2m+4k）=4（m2-6m+4-4k），由于要求方程的根為有理數，所以只需△1=4（m2-6m+4-4k）為m的完全平方式。進一步分析若要使△1=4（m2-6m+4-4k）為m的完全平方式，則需要它的判別式△2=（-24）2-4×4×（-16k+16）=0，所以得k=-■。

本題通過深入分析，橫向考慮方程、函數與不等式之間的聯系，挖掘知識的內涵與外延，把握知識的精髓，進而培養思維的深刻性。

三、善于聯想，培養思維的靈活性

數學思維的靈活性是指學生在解決數學問題時能夠提出非習慣性的處理方法，并在應對新的解題條件時可以快速靈活地轉換思路。

【例3】設（x，y）∈R+，求證：■+■>■。

【分析】觀察待證不等式的結構，抓住其形式特點即■+■>■，容易聯想到多個基礎知識模型。

聯想1：根據不等式左邊的變形形式可以將其看作三點間的兩邊距離之和，即動點P（x，y）與兩定點A（8，3）和B（2，-5）的距離之和，由三角不等式可以得出結論。

聯想2：與聯想1一樣，以動點到兩定點的距離和為線索，容易聯想到橢圓的定義。視橢圓半長軸a可變，即a為參數，令■+■>2a（a∈R+）。此時2c=■=10，但在橢圓中2a>2c，故結論成立。進一步意味著結論還可以加強，即將■換成10，不等式仍然成立。

聯想3：觀察不等式左邊的等價變形形式與復數模的形式有相似之處，故聯想到利用復數不等式證明。令z1=（x-8）+（y-3）i，z2=（x-2）+（y+5）i，|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|-6-8i|=10>■，進而不等式得證。

根據新課程標準的基本理念“把握數學本質，啟發思考，改進教學”中可以看出新課標對數學本質的強調，因此，在教學中教師應首先把握數學本質和教學本質，了解關于數學思維的理論知識，掌握數學思維的品質與特點，明確數學思維品質在學生數學學習過程中的重要性，才能在數學教學過程中，加強學生數學思維的培養。

【參考文獻】

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（四川文理學院數學學院，四川 達州 635000）