數學中的替換思維研究

匡振友

摘 要：替換是人們在社會生活中思考問題、解決問題的一種思維方式。也是數學解決問題的策略和方法。它與整體思想、化歸思想同等重要。教材中，很多地方運用了替換思維來處理問題的。因此在教學中明確替換，掌握替換原則，這對于培養學生的問題解決能力大有裨益。

關鍵詞：概念 原則 應用

一、替換概念的認識

替換源自生活。歷史上有兩則著名的故事——《推敲》和《曹沖稱象》。詩人最后決定把“推”替換為“敲”，達到了不同的詩境。曹沖巧妙地用石頭代替大象，達到相同水位時重量相等。生活中所謂的物物交換、換人工作、用石頭替代鐵錘定木條等等都是替換思維的表現。

盡管生活中的替換形式呈現多樣化，但從數學角度上講，替換就是對應關系。指的是可以拋開兩件事物A和B間的無關屬性，使A與B建立一種對應后，用B替換A。

在代數運算中，一般是用一個字母或一個整體去代替一個整式或另一個整體，使得運算簡便化。楊玉華老師在《數學中的替換思維》提出變量替換概念，利用變量替換解決極限問題、積分問題、微分方程的通解問題[1]。

從上述可見，廣義替換就是用一個事項替代為另一個事項。狹義替換就是在數學中用一個量去替代另一個量，也可以用一個數去替代另一個數。在數與數之間、數與式之間、式與式之間互相替代。

二、數學替換的原則

1.整體原則

替換思維滲透著整體思想，通常說“整體替換，常數不變”。在分析和解決問題的過程中，強調的是A被B替換。A是問題中的相同部分，被視為一個整體，是被替換的對象;B是設定用來替換的對象，也就是設定的另一個整體，用B去替換問題中A。

2.等量原則

等量代換就是用一個與之相等的量去替換它。強調的是相等關系。等量的傳遞性表達的很明確，簡單地表述為a=b，b=c那么a=c。對第一個等式而言，b替換為c，得到第三個等式。所以替換是以等量為基礎進行的。

3.對應原則

替換能很好地體現出一種函數關系。從自變量到因變量，在對應法則下，每給定自變量一個值，都有唯一的函數值與之對應，那么在定義域內，用b替換a導致函數值的變化。在這里，用b替換a是在定義域內的替換，解決問題時要關注函數值的變化。其次，還要關注圖形變化和算式結構性的變化，還要注意位置變化。

案例欣賞：觀察下列算式

請用含n的算式表示此規律。

分析：做好此題的替換，要關注兩種角度的對應。

一是位置角度對應。觀察算式的結構性變化，不難發現處于相同位置上的自然數被后續的自然數所替換。所以用后續自然數去替換時，要在位置上對號入座。

二是函數角度對應。不妨將算式逐個進行編序號，把序號作為自變量，而算式的左端和右端分別作為因變量。

當自變量增加1時，左端分母中的第二個因數增加1，右端第二個分母增加1。所以第n個算式應為。

在這里，用字母n替換了具體數字，進行了符號化處理，得到了規律。

三、替換應用于教學

1.要精心設計情境，注重替換思維的培養

案例欣賞[2]：

小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿，大杯的容量是小杯的3倍，小杯和大杯的容量各是多少？

針對此題，教師引導學生分析題意，畫出示意圖，然后作了以下探究：

（1）把大杯替換成小杯。

（2）把小杯替換成大杯。

（3）用x表示小杯容量，引導學生列一元一次方程。

教師進一步引導學生又做了如下替換：用長方形替代實物，大小杯互相替換，用x替代大杯容量。這樣的教學設計，既培養了學生的替換思維，又讓學生初步了解如何替換，培養學生的替換能力。

更深層地想，如果保持數據不變，用“甲乙兩班人數”替換果汁，用“甲班人數和乙班人數”去替換“大杯和小杯”;或其他條件不變，把“3倍”替換為“大杯比小杯多27毫升”，讓學生進一步探究，那么學生的思維向深處發展。再進一步放手讓學生做一些替換，這有助于提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力。

這種設計給學生搭建了一個新的臺階，符合學生認識事物螺旋上升的基本認知規律，學生學得輕松，學得扎實。

2.關注學生掌握一些基本的替換過程和方法

用替換策略解決問題的教學設計有很多，讓學生掌握這些基本替換的方法。如：代入求值是用數字替代字母的過程;公式應用是用一個數或代數式替換公式中的字母;換元法是將相同部分視為一個“元”，實現“量”與“量”的替換;概念符號化是用“符號”替換“文字”。

諸如此類，像函數中變量替換，三角函數變形中的角度替換、高等代數中的替換定理等等，不一一枚舉，可以說替換思維應用廣泛。

在眾多的解決問題的策略和方法中，替換是有助于培養學生解題能力的一副良方益法。獨秀一枝，不失魅力。

參考文獻

[1]楊玉華，數學中的替換思維[J].邢臺學院學報，2008，23（04）.

[2]陳金飛，遵循等量原則，提升思維水平[J].考試周刊，2009，（47）.