一道習題背后的反思

韓濤

[摘要]隨著科技的發展和網絡的普及，學生獲取知識的途徑更多，不再局限于課本，很多高科技如全息投影、5G網絡、云計算等開始應用于生活，對于一些數學模型，學生可能得出超前超綱的解答。這時，教師不應回避，而應用有限的知識盡最大努力去探尋答案。這樣，即使學生沒有摘取最終的標準結論，但在攀登的過程中就獲得成長。

[關鍵詞]容積;最大值;函數;精確度;求導

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0039-02

偶然在期刊上看到一篇教學文章，談的是對于一道習題的探究：用一塊長10em、寬6cm的鋁膜可以做成一個敞口的長方體金屬盒，這個金屬盒的體積最大是多少？按照教師的引導，學生研究出三種方案，并意識到：“同一塊鋁膜，剪切的方式不同，得到的體積也不同。”

一、學生提出的超綱的解答

誰知幾天后有位學生利用3D作圖技術和計算機程序，算出了這個金屬盒的最大體積可達44cm'，并給出了施工圖。盡管鋁膜被整整分割成8塊碎片，但結果卻合情合理。筆者感慨之余不免泛起一絲疑惑：計算機是怎么推出答案的？如何驗證44cm就是最大體積？計算機已經推出科學結果，再反推需要哪些條件才能促成這種結論的發生（畫出施工圖，湊出長、寬、高），這似乎有些因果顛倒。難道以后所有問題，都從未知的結論倒逼得出充分條件？于是，筆者開始尋找合乎邏輯和先因后果的思考方法。

二、用有限的知識無限逼近真相

設鑄造成的金屬盒的長、寬、高分別為x，y，z，體積為V。依照題意可知：

依據題中現有的條件，僅能列出2個方程，推演到方程（4）就斷路了。所幸問題的目的是算出V的極大值，是一個動態的過程，筆者想到用試驗法查驗一下條件的特性。很快，筆者有了重大收獲——V的取值可以超出44。比如當x=5，y=4時，V=（60-5x4）x_0≈44.4444。因為可以隨意剪拼，所以長10em、寬6cm并沒有限制什么，起不到決定性作用，先決條件是5個面的面積之和不得大于60em2。隨后，又尋獲多個在計算機的速算功能下，舉例說明問題的方式顯得很蒼白，因為舉例永遠是有限的。為了查找證據，筆者在每組數據附近不斷提高精確度，一度精確到了四位小數。如x=5.0，y=4.2時，V～44.5109。當x維持不變時，y在4.2上下波動，會使V值擴大嗎？經過反復驗算，筆者發現在四位小數范圍內，y=4.2195時，V≈44.511388565最大。隨著最大體積不斷改變，筆者陷入迷茫：這些不斷刷新的數據只能推翻最大體積為44cm3的結論，但到底怎么揭開最大值的神秘面紗？筆者從這些反例中總結出一些規律：欲使V值最大，（x+y）的值一般在9上下波動，（60-xy）、xy和（x+y）三者的大小緊密關聯，相互牽制，x，y的值不能過大或者過小，應該存在一個合理區間，使得x，y值在這個區間內取值，V值剛好達到最大。由于存在兩個不定數，就不能一一舉例試驗。

幾天后，筆者驀然回憶起一個結論：當周長恒定時，圍成正方形比圍成長方形面積大。如一個矩形的周長固定為28cm，那么可推知長、寬的和是14cm，符合條件的長方形如下表所示（整數）。

顯然，長方形的長、寬差距越小，面積就越大，長和寬同時達到7cm時，正方形面積最大。換言之，當（x+y）恒定時，xy存在最大值，并且可以確定其大小。如此一來，兩個未知數緊緊捆綁，合體成為一個未知量，解題思路峰回路轉。設x+y=t，無論i取何值，

只要保證t取最大值，V就能達到最大值。并且因為分母是32，所以V值可能是分數形式，這就避免了“四舍五人”帶來的爭議。很快，隨著t值的變化，V的最大值浮出水面：

將t近似到個位，即t=9時，V=44.71875;

將t近似到十分位，即t=8.9時，V=44.71971875;

將t近似到百分位，即t=8.94時，V=44.72134425;

……

隨著t值精確度的不斷提高，V值也不斷增大。但小數數位是無窮多的，每把t提高一個精確度，計算起來就會愈加困難。照這樣算下去，無窮無盡，顯然這不是長久之計，也不是一勞永逸之法。

三、函數求導讓教師站位更高

Va+240t一t3欲使V值最大，取決于分子（240t-到最大=32t）也要達到最大值。設y（t）=240t-t=-t+240t，這是一個三次函數。對該函數進行求導，并令導函數的函數值為0則有y（t）=-3t2+240=0，解得t=80，t=+45。回看題意，t的定義域是0《t《16，所以t取4V5時函數達到極大值。因為在（0，4V5）中，導函數單調遞增，在（4V5，16）中，導函數單調遞減，所以t=4√5時有最大值。此時：

這與先前推算出的t=8.9和t=8.94時的V值極最為貼切。為保險起見，筆者還向大學教授請教。教授給出了更為專業和嚴謹的解答。

首先對方程（1）和（2）進行變形，并根據拉格朗日乘數法構造函數：

對函數L求偏導數，并令它們統一取值為0，把得到的3個新方程連同原始方程組成方程組：

求得方程的解為x=2v5，y=2v5，z=v5。同樣推出Va+=20v5cm'。教授還指出：根據均值不等式的成立條件（一正二定三相等），在“若x+y=t，則xy的最大值是一”這一過程中，不能默認為（x+y）必須存在。

對于一個沒學過高等代數的教師來說，做這道題確實很懸，學生也同樣如此。人有長短，差異總是客觀存在，教師教學時要理性看待學生的差異，調動學生學習鉆研的積極性，使學生進入“不憤不啟，不悱不發”的狀態。

（責編 吳美玲）