大學數學案例式教學與數學實驗相結合的研究與探索

郭春曉 郭艷鳳 林燕

[摘 要] 大學數學中的案例式教學模式是提高學生自學能力、激發學生創新能力、培養批判性思維的新教學模式，數學實驗是應用所學數學知識解決實際問題的方式。通過對高等院校工科數學課程案例式教學理念、模式的思考與分析，結合數學實驗課程，提出了適合礦業類學生人才培養的大學數學基礎課程研究型教學的設計思路和實施方案。

[關鍵詞] 案例式教學;數學實驗課程;人才培養

[項目資助] 本成果受2020年度高等學校大學數學教學研究與發展中心2020年教學改革項目（CMC20200312）;2019年度和2020年度中國礦業大學（北京）本科教育教學改革與研究項目（J190804，J20ZD25，J200810）;2016年度廣西科技大學優秀教學團隊支持計劃;2019年度和2020年度廣西高等教育本科教學改革工程項目（2019JGB254，2020JGB249）

[作者簡介] 郭春曉（1983—），女，山西朔州人，理學博士，中國礦業大學（北京）理學院副教授，碩士生導師，主要從事偏微分方程理論研

究;林燕（1981—），女，貴州貴陽人，理學博士，中國礦業大學（北京）理學院教師，博士生導師，主要從事調和分析研究;郭艷

鳳（1976—），女，河南獲嘉人，理學博士，廣西科技大學理學院教授，碩士生導師（通信作者），主要從事大學數學理論研究。

[中圖分類號] G642.423? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）30-0373-03? ?[收稿日期] 2019-11-02

大學數學是工科院校最重要的基礎課。中國礦業大學（北京）作為礦業類院校，肩負著為煤炭、礦業等行業培養高素質人才的重要任務。如何提高大學數學課程的教學質量，培養符合時代需求的創新應用型人才，是大學數學教育者共同關心的課題。在傳統的大學數學教學中存在著一些不足，學生缺乏學習興趣，對所學專業缺乏了解，只是盲目地學習大學數學課程。在大學數學教學中采用案例式教學和數學實驗相結合，可以有效地提高學生的學習興趣，使繁雜的數學問題簡單化，使枯燥的數學知識和具體專業相結合并應用到實際中去，具有實用性和趣味性，從而激發學生學習數學的興趣和積極性。

在傳統的教學模式下，學生通過聽講、看書獲得知識。教師將知識教條化、“填鴨式”地灌輸給學生，而忽略了把它真正變為學生自己的知識。案例式教學則不同，該教學方法以案例為引導直接切入核心問題，注重培養學生的注意力和觀察力[1]。同時結合數學實驗來開展大學數學課程中的案例式教學，是一種新的大學數學教育教學理念。該教學模式包涵了通過案例傳授知識、培養創新能力和創新意識，從而達到高校培養創新應用型本科的發展目標。

一、針對學科特點制定相應的典型案例

案例式教學成功與否取決于典型案例的選取和課堂教學設計，選擇典型案例可以激發學生的求知欲，提高學生的創新能力;成功的教學設計可以加強學生對數學基本理論知識的理解和掌握。大學數學基礎課的案例探究式教學模式，本質上就是借助數學課程，以學生為主體，引導其自主學習，培養其獨立思考、自主解決問題的能力。教學案例的設計，融合啟發式、研討式、參與式等多種教學方式，是以培養學生的團隊合作能力和創新能力為目標的新型教學模式。

常微分方程是現代數學的一個重要分支，是解決各種實際問題的有效工具，是研究自然科學和社會科學中事物及物體運動、演化和變化規律最為基本的數學理論和方法。物理、化學、工程、經濟和金融領域中的許多原理和規律都可以描述成適當的常微分方程[2]。根據鐳的衰變規律得到的常微分方程，求解后可以用來測定巖石類材料的年齡。因此，在給資源和地測學院的學生講授高等數學課時，可以從這樣的案例為切入點，精心設計案例。同時，引導學生自己去尋找一些和本學科相關的案例，查閱資料—提出解決方案—修正方案—促使老師加深思考。在資源學院的專業課教材“礦山壓力與巖層控制”中，需要數學物理方程的知識[3]。在設計案例時，和資源學院的老師討論后制定相應的案例[4]。讓學生運用彈性力學知識建立偏微分方程，利用有限差分方法和Matlab軟件求解，從而啟發學生運用專業知識分析所得結果。

高等數學中的傅里葉級數理論，闡述了一種重要的物理現象，在工程實踐上有很多的應用。如電動機、功率放大器，以及數字式傳感器，由于它們的輸出量都是周期函數，工作原理都以傅里葉級數為基礎。因此，在給機電學院的學生講授傅里葉級數時結合他們的專業特點，制定相應的案例。將具體的專業知識分析和傅里葉級數結合進行講述和推導，利用Matlab等軟件對傅立葉級數足夠多的有限項進行模擬畫圖演示。導數在經濟學中最通常的應用是邊際和彈性，經濟學中的邊際經濟變量都是用增加某一個經濟變量對另一個經濟變量帶來的影響是多少，如邊際效用、邊際成本、邊際收益、邊際利潤、邊際替代率等，這些邊際概念幾乎都用導數來表示。所以針對管理學院的學生，在引入導數概念時，可以從這些與經濟相關的知識入手，通過經濟學中的數學模型解釋導數的應用，并結合相應的數學模型利用數學軟件求解經濟中的總收益問題并進行模擬，以展示大學數學的應用。

概率論與數理統計是研究和處理隨機現象的一門重要的隨機數學課程，其在工程、經濟、社會等領域應用廣泛。在大數據時代，通過統計數據的采集、整理、處理、分析等，使用概率論與數理統計有效地對社會與個人的選擇進行必要的預測。因此，任課教師有必要對其教學方法、手段等進行重新設計。設計案例時增加實踐性教學環節，注重培養學生應用概率論與數理統計的理論和方法解決實際問題的能力。結合數學實驗課程，利用Matlab等軟件通過計算機對數據進行初步的統計分析，學習統計圖表的制作，對結果進行基本統計分析，并對分析結果做出合理和恰當的解釋。

總之，任課教師要針對不同學院、不同專業的學生在案例設計上、教學方法上突出專業的特色。

二、案例教學中要注重學生的主體地位

在教學過程中采用案例式教學模式需要注意以下幾個方面問題。第一，鼓勵學生獨立思考，積極探索。編寫案例時，設置一些問題情境，如一個定理或公式為什么這樣證明，并將定理的結論隱含在案例中。遇到問題時，學生會積極探索，步步深入，從而使所學的知識更加深刻。教師應積極鼓勵學生不要局限于課堂教學內容，可以提出問題，讓學生分組討論，并積極參與到講解的過程中，深刻理解所講授的內容，體會給別人傳道授業的成就感，激發學生學習數學的熱情。第二，注意對學生進行激勵。在一個團隊中，每個人都愿意積極進取，吸取別人的優點，奮發努力趕超別人，這樣，整個團隊便會有一個良性競爭的氛圍。第三，從被動吸收知識轉變為主動增長能力。案例式教學考核時可采取開放式的考核方式，不要拘泥于以往的試題模式。考查學生對數學知識的掌握和理解程度，應用所學知識提出問題、分析問題、解決問題的能力，注重培養學生獨立自主的學習能力、科研能力、團隊協作意識和組織能力。

三、案例教學中注重數學實驗的應用

數學軟件如Matlab、Mathematica、Maple等具有數值計算和圖形顯示功能軟件，為教師課堂開展案例式教學提供了有力的工具，同時也為學生利用數學軟件進行相應的實驗、親身操作來解決實際問題提供了很有效的工具。這些軟件在科學計算等領域應用非常廣泛，學生掌握相應的數學軟件應用對以后的工作和科研會有很大的幫助。通過這些案例式的分析和給出一定的概念以后，可以有效地利用數學實驗課程來解決提出的問題，讓學生真正感受到大學數學可以得到廣泛應用的實用性，并有效地回答中科院李大潛院士指出的“一方面數學很有用、另一方面學生學了數學以后卻不會用”的矛盾現象。

例如，上面提到的資源學院專業課程用到的有限差分方法是計算偏微分方程近似解的有效方法。高等數學微分和積分都涉及近似計算的內容，定積分的內容講到近似計算，矩形法、梯形法、拋物線法可以進行案例設計。給學生講解這些近似計算的主要思想和思路以后，可以通過數學實驗課程來應用Matlab、Mathematica、Maple等數學軟件，設計一些簡單的算法，從案例出發可以在數學實驗課程中給出一些簡單的例子和算法，進行課堂上模擬以后，讓學生了解這些大學數學的思想在解決實際應用中的作用。并給出相應的類似案例，可以通過學生分組進行數學軟件編程來解決問題。在這個過程中也培養了學生的團隊精神，提高了學生分析和解決問題的能力，為培養創新應用型人才提供了很好的教學方式。

這種從教學案例出發，借助計算機數學軟件，讓學生自己設計解決方案，親身體驗學習過程，并深入探索數學知識、找到數學規律的教學模式，順應了現代高等教育的大趨勢。

四、案例式教學和數學實驗相結合對教師的促進作用

成功地把案例式教學和數學實驗相結合，不僅使學生受益匪淺，還有效地提高了教師的綜合素質。案例式教學要求師生的角色都要有很大程度的轉變。因此，這樣的模式對教師備課、課堂教學活動、課后輔導等均提出了一定的挑戰。在案例式教學過程中，教師以案例為基礎，是學生學習的引導者，同時可以運用案例拓展學生知識的深度和廣度。同樣，教師通過學生反饋的意見，進行自我總結分析，通過再設計—研究—創新—升華，不斷提高自身對案例的駕馭能力，充分地發揮案例式教學的優勢。

結合數學實驗課程的教學，對教師綜合素質的要求也比較高。不僅要求教師能夠把案例式的教學內容和思想與數學實驗結合起來，而且還要求能夠熟練操作相應的數學軟件，并針對相關內容設計一些實際問題并利用數學軟件編程來進行解決，同時還要求教師能夠熟練進行數學實驗室的各種操作，實現在數學實驗過程中通過師生相互配合來進行實踐操作，指導學生進行相關內容的數學實驗分析和運行。

因此，案例式分析教學和數學實驗相結合的教學形式對教師也具有很大的挑戰，并要求教師不斷地進行學習和提升，從而提高教師的綜合素質。

五、案例式教學模式的考核方式和課后探索

（一）課程測驗和課后研究報告相結合的考核方式

采取案例式教學模式，在課程結束時教師根據教學內容給出幾個課題由學生自主選擇，考核方式采取分組調研、課后討論、撰寫研究報告并參加答辯的形式實施。這種考核方式沒有標準答案，但學生需要首先建立模型，然后應用數學軟件進行計算，接著運用專業知識分析所得結論的科學性。這不僅能考查學生對數學內容的掌握程度、應用所學知識提出問題、分析問題、解決問題的能力，也可激發學生從事科研的興趣和創新精神，同時也能彌補傳統考核方式的不足。結合我校正在實施的大學生創新訓練項目，老師可以指導五人一組的創新團隊。期間，老師可以推薦很多科技論文及相關書籍中的相關內容，讓學生們深入研究。學生們在查閱文獻、搜集資料、撰寫論文、發表論文的過程中，其自主學習能力、科研能力、團隊協作能力等得到了大幅度發展和提高，這是科研人員必備的基本能力。學生在創新項目結束之后，不僅對高等數學這門課程有了新的認識，還學到了課本之外的一些新的知識，并可以熟練運用Matlab工具。總之，參加創新項目的學生都受益匪淺，有了這些經驗的積累，相信大學數學任課教師一定可以充分發揮案例式教學的優勢，不斷提高數學課程的教學質量。

（二）課后探索

為適應高校目前創新型人才的培養計劃，由于大學數學課程學時的限制，創新性的題目作為課后題目留給學生進行探索。隨著目前互聯網技術的不斷成熟，互聯網資源豐富，利用互聯網平臺使學生普遍受益。如我國已經擁有高校精品課程網、網易公開課程網、微課網等豐富的視頻教學資源，這些都為開展案例式課堂教學模式提供了資源基礎。把網絡直播方式運用到大學數學的課后探索，在可能的情況下嘗試直播高等數學課程。由于直播形式的自由性，老師可以選擇一些數學案例不僅可以吸引學生學習的積極性，還可以讓學生在線討論，掌握所學知識。同時建立數學課后微信討論群，彌補課堂教學時間短的缺陷，教師可以在群里對案例進行深入分析，演示一些數學軟件的應用。

終上所述，在大學數學教學過程中適當地采用案例教學和數學實驗相結合的方式，不僅能提高授課教師的學術水平，還能使教與學的過程更生動、更豐富，并提高學生學習大學數學的濃厚興趣。我校各個學院鼓勵學生積極參與數學課程相關的創新性項目，項目導師指導學生以解決實際問題為目標，重在培養學生的創新應用能力。在實踐上，旨在為礦業類專業知識和數學理論知識之間搭建一座橋梁，從重理論輕實踐的傳統教學模式真正轉變為學以致用。

參考文獻

[1]馮良貴，丁吉超.工科院校數學教學改革案例比較與分析[J].高等教育研究學報，2007（2）.

[2]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014：297-359.

[3]錢鳴高，石平五，許家林.礦山壓力與巖層控制[M].徐州：中國礦業大學出版社，2015：91-94.

[4]謝生榮，陳冬冬，孫顏頂，等.基本頂彈性基礎邊界薄板模型分析—初次破斷[J].煤炭學報，2016（6）.

Research and Exploration of Combination of Case-teaching and Mathematical Experiment in College Mathematics

GUO Chun-xiao1，GUO Yan-feng2，LIN Yan1

（1.School of Science，China University of Mining and Technology（Beijing），Beijing 100083，China;

2.School of Science，Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou，Guangxi 545006，China）

Abstract：The case-teaching model in college mathematics is a new teaching model to improve students' self-learning ability，stimulate students' innovation ability，cultivate students' critical thinking，and mathematical experiment is the way to solve practical problems using mathematical knowledge.By thinking and analyzing of the mathematics curriculum of engineering case-teaching concept，model，and combined with the mathematical experiment course，this paper puts forward the design idea and implementation scheme of research-based teaching model of talents cultivation for college students of mining basic mathematics.

Key words：case-teaching model;mathematical experiment course;talent cultivation