基于混沌理論的弧形閘門面板振動特性研究

楊佼佼，徐國賓

(天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300354)

1 研究背景

弧形閘門作為水工建筑物中重要的組成部分，廣泛應用于高水頭的擋水建筑物[1-3]。對于弧形閘門的振動問題，國內外學者從原型觀測、模型試驗及數值模擬多方面進行了探討[4-5]，但國內外失事的閘門案例中，很多都是由于脈動壓力研究的不夠深入所導致的。胡木生等[6]、李明[7]、溫承永等[8]、李小超等[9-10]已從原型觀測、數值模擬、數值模擬結合原型觀測實驗以及模型試驗對弧門脈動壓力進行分析等方面進行了研究。但對其振動的復雜程度沒有進行系統的、理論層面的分析研究。

混沌理論已在多種振動研究中得到應用，如楊弘[11]在二灘水電站水墊塘底板的振動響應研究中，分別計算了混沌特征值的盒維數與關聯維數，并發現其與水墊塘底板的振動無明顯相關；羅貝爾[12]在研究高速水流與流激振動問題時，應用了混沌理論，并得出實際工程混沌特性的分析。本文采用混沌理論，通過對弧形閘門面板模型試驗的振動時間序列進行處理，分析混沌特征值，指出弧形閘門面板的振動特性，分析了閘門振動情況的復雜性，為實際工程中閘門在復雜工況時的正常運行提供了理論支持。

2 相空間重構與混沌特征值

為研究弧形閘門面板振動的問題，運用混沌理論分析試驗測得脈動壓強時間序列，首先采用五點三次平滑法對數據進行降噪處理，然后進行相空間重構。通過重構的相空間，推求表征混沌系統的特征值，判斷該時間序列是否具有混沌特征，并分析時間序列的復雜性[13-15]，進而研究弧形閘門面板振動的復雜性。

2.1 相空間重構

本文采用具有良好抗噪能力的互信息法來確定時間延遲τ[17]，通過構造平均互信息函數I(τ)：

(1)

繪出τ-I(τ)的圖像，I(τ)取第1個極小值時所對應的τ即為最佳延遲時間。

通過平均偽最近鄰域法——Cao方法來求嵌入維數，它對虛假鄰點法進行了改進，且對處理含有噪聲的時間序列具有極大的優勢[17]。同時定義了E1(m)和E2(m)，E1(m)隨m的增大而增大并趨近于1，取E1(m)等于1且不再變化時的m值為最小的嵌入維數。對于混沌時間序列，存在m使E2(m)不恒為1。同時計算E1(m)、E2(m)來確定嵌入維數。

2.2 混沌系統的特征參數

2.2.1 飽和關聯維數 飽和關聯維數是定量描述分形維數的數學量，它是從混沌吸引子中提取的一種維數，描述時間序列所代表的非線性動力系統的混沌程度，系統的關聯維數越大，復雜度越大。

在重構相空間Yi={xi,xi+τ,…,xi+(m-1)τ}(i=1,2,…,(N-(m-1)τ);M=N-(m-1)τ)的基礎上，定義[16]：

(2)

有混沌特征的序列滿足C(r)∝αrD(r>0)，采用最小二乘法求lnr-lnC(r)圖像中明顯直線段的斜率即可得關聯維數D。

2.2.2 Lyapunov指數 Lyapunov指數描述了相空間相鄰軌道的平均發散(λ>0)或平均收斂(λ<0)的性質，若最大Lyapunov指數為正，可以判斷該非線性動力系統具有發散特征，即為混沌系統，且其大小反映了系統的混沌程度。對含有一定噪聲影響的較小數據，求其最大Lyapunov指數λ1可采用小數據量法來計算[18]。重構相空間后尋找每一相點的最近鄰點，其距離為:

(3)

(4)

對于每個j求出所有非零lndi(j)的均值：

(5)

式中：q為非零lndi(j)的個數;ts為采樣周期。繪出j-Zj圖像，用最小二乘法進行擬合，其斜率即為最大Lyapunov指數λ1。

3 弧形閘門面板振動特性

3.1 弧形閘門模型試驗與數據分析

本文以大石峽弧形工作閘門模型試驗為例，孔口尺寸(高×寬)為4.5 m×6 m，弧面半徑13 m，弧門面板厚30 mm，面板沿縱向布置為13根T形小橫梁，小橫梁腹板截面尺寸500 mm×20 mm，下翼板截面尺寸200 mm×30 mm。模型幾何比尺為1∶25，在閘門面板中線布置了6個脈動壓力傳感器，采樣頻率為100 Hz，閘門水力學模型布置如圖1所示。模型用專門研制的水彈性模型材料，其模型材料的門葉結構的剛度、重量及密度與原型一致為7 850 kg/m3，彈性模量為原型的1/25，即8 GPa。試驗測試正常蓄水位1 700 m、校核洪水位1 701.3 m和汛期限制水位1 694 m時，在閘門4個開度，即4、8、12、16 cm，分別對應原型1、2、3、4 m開度共12種工況下的閘門面板脈動試驗數據。試驗測點布置如圖2所示。試驗過程中取各水位各開度下，每個測點60 s的數據進行分析。

圖2 弧門面板脈動壓強觀測測點布置圖

圖1 弧形閘門面板水力學模型及測點布置

3.2 面板脈動壓強數據相空間重構

首先對觀測數據進行降噪處理，然后由平均互信息法計算各測點不同開度時振動的加速度時間序列的延遲時間τ，根據計算所得的延遲時間τ，用Cao方法計算嵌入維數m。如圖3為1 700 m水位下開度為16 cm時1#測點的計算過程圖，其他各開度下其他測點的計算過程與此類似，其中圖3(a)為τ與I(τ)關系曲線，圖3(b)為E1(m)、E2(m)的計算曲線。由圖3(b)可明顯看出，E2(m)不恒為1，滿足混沌條件可選取嵌入維數。表1所示為各測點計算所得的時間延遲τ和嵌入維數m。

圖3 正常蓄水位1 700m開度為16 cm時1#測點脈動壓強時間序列τ與m計算示意圖

表1 1#～6#測點脈動壓強時間序列的τ與m表

3.3 關聯維數與Lyapunov指數

3.3.1 關聯維數 關聯維數的計算要求由平均互信息法求得的τ，代入關聯維數的計算中，并令m從2開始由小到大依次取值至20，由公式(2)計算繪出典型測點典型相對開度下lnr-lnC(r)的關系曲線，如圖4(a)所示，其他測點計算圖與此類似，對各條曲線明顯直線段由最小二乘法求其線性回歸斜率，其斜率與m值的關系如圖4(b)所示。表2為1#～6#測點各開度與關聯維數取值對應關系。

圖4 典型測點脈動壓強時間序列關聯維數與m關系圖

由表2分析可得：(1)總體分析，面板靠近底緣位置(測點1處)的關聯維數較大，表明此處振動的復雜程度較大，由于閘下出流且為淹沒出流的情況，會在閘后形成淹沒水躍，在閘門底緣處產生較大的脈動壓力，從而造成面板靠近底緣位置的振動情況較其他位置處更為復雜；(2)閘門面板大部分測點表現為：在小開度時(4 cm)呈現出較小的關聯維數，即在閘門小開度時，建模運算過程中可通過較少的獨立控制變量來實現閘門的非線性運算過程；(3)面板在4個開度下，與水面靠近的位置即開度12 cm時測點3位置、開度8 cm時測點4位置、開度4 cm時測點6位置關聯維數均較大，可以看出閘門面板在與水面接觸處振動情況更為復雜，氣液固3項耦合處對閘門振動的影響較臨近測點位置更大，可著重分析在靠近水面位置面板的受力變化。

表2 1#～6#測點各開度的關聯維數

3.3.2 Lyapunov指數 在相空間重構的基礎上，由已確定的延遲時間τ、嵌入維數m，通過公式(3)～(5)來計算最大Lyapunov指數，圖5所示為數據分析得到的j-Zj圖像，對圖像的前半部分，即增函數部分采用最小二乘法進行擬合，得到的斜率即為最大Lyapunov指數λ1。而之所以會出現后半段穩定不變部分，是由于重構相空間的混沌吸引子有界，λ1不會超過吸引子的界限。表3列出各測點的λ1值。

圖5 典型測點Zj與步長j演化關系圖

由表3分析可以看出：(1)閘門在較高水位時(1 700、1 701.3 m)，開度為8 cm處的λ1較其他開度時更大，說明其面板的振動復雜程度也更大；(2)在1 701.3 m水位時，弧形閘門面板在開度為4 cm時，除測點1外其他測點總體表現出的λ1值相對較低的兩個水位更大，分析可知在高水位小開度時受到的水壓力更大，在淹沒出流的情況下由能量分析可知，在同樣下游水位情況下，流體的能量更多地傳遞給閘門，故而造成面板有較復雜的振動情況；(3)測點1即最靠近閘門底緣位置處，在大開度時的λ1更大，可以看出閘門底緣過流量越大，其閘門面板的振動情況復雜程度越高。

表3 1#～6#測點各開度最大Lyapunov指數λ1表

4 結 論

本文從混沌理論角度對弧形閘門面板的振動情況進行了研究，重點分析了其振動復雜程度的問題，并得出如下結論：

(1)由關聯維數與Lyapunov指數分析得出，弧門面板振動復雜程度在大開度高水位下表現為更復雜；在閘門底緣位置的振動情況表現有更大的不可預測性，其復雜程度更高。

(2)弧形閘門小開度時，在閘門面板建模運算中的非線性振動情況可由較少獨立變量進行控制，變量選取方法可進一步研究探討。

(3)根據本文的相空間重構結果及Lyapunov指數的計算，為基于混沌理論進行弧形閘門面板振動情況的短期預測提供前提。