大膽猜想 小心求證

趙俊達

2019年天津市中考有一道題引起了廣泛的關注。題目如下：

如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網格中?！鰽BC的頂點A在格點上。點B是小正方形邊的中點?！螦BC=50°。∠BAC=30°。經過點A，B的圓的圓心在邊AC上。

（I）線段AB的長等于

但題目要求僅用無刻度的直尺畫圖，這樣就必須進一步挖掘點P的性質，再利用網格和圓的特點來實現單尺畫圖的目標。

文[1]結合圖形直觀啟示，經歷觀察、猜想、驗證、計算、推理等數學活動，從而確認標準答案點P位于點P₁的合理性。并且進一步通過猜想、論證，獲得點P異于標準答案的另一個位置點P₂的單尺畫法，這是一個意外的收獲。筆者閱后，深受啟發，但也有疑惑，茲列舉如下：

1.文[1]在探究點P₁準確位置時，推導大致如下：

由圖2中尺規作圖的分析知，△ABC內部只有一個點P符合∠PAC=∠PBC=∠PCB。由此得到標準答案中的畫圖方法。

2.在探究另一個符合條件的點只的相關的角時，文[1]運用了高中三角函數的相關知識。作為中考題目。其解答的依據要從高中范圍尋找支撐，怎么也說不過去。能不能在已有的點P₁的結論的基礎上用初中幾何知識解決呢？筆者順著文[1]的思路，做了以下探究：