對一道中考試題的再探究

孫靜

1 原題呈現

武漢市2019年中考數學第16題：

問題背景：如圖l，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交于點P，可推出結論：PA+PC=PE。

輔導中，許多學生面對此題茫然無措，不知從何處下手。我們引導學生重點思考以下兩個問題：①題目中的問題背景與后續問題之間有怎樣的內在聯系？②前后圖形之間是否有相同或相似之處？

2 思路分析

2.1 從圖形人手，尋找二者之間的相同或相似之處

經過前述鋪墊，部分學生很快找到了突破口：圖1中隱含著一個△ADC，其中的點P很可能就是圖2中要尋找的點O的特殊位置。該位置能使點O到△MNG三個頂點的距離之和最小。

連接DC，如圖3，則點P是△ADC內的一點。根據問題結論PA+PC=PE可知：PA+PC+PD=PE+PD=DE。又因為點D，E都是定點，據此猜測：點P很可能就是△ADC內到三個頂點的距離之和最小的點，所求最小值等于線段DE或BC的長。圖3中的線段AB，AE可以看作是△ADC中∠DAC的兩邊分別以點A為中心向三角形外部旋轉60°得到的。仿照圖3，構造圖4，則BG或NE的長很可能就是題目中要尋找的最小值。

2.2 從文字人手，尋找二者之間的內在聯系

3 繼續探究

此題蘊涵的結論是否適用于任意三角形？當點O擴大為△MNG所在平面內的任意一點時，結論又將如何？

使用幾何畫板，容易探測到圖形的變化規律。圖7是其中的三幅圖。容易發現：隨著∠NMG的增大，點P逐漸靠近點M;當∠NMG=120°時（圖7②），點P與點M重合，此時NE=MN+MG：當120°<∠NMG<180°時（圖7③），點P移出△MNG。此時，PG=PM+PE。PM>0.所以。PM+PN+PG=NE+2PM>NE，上述結論不再成立。

4 歸納結論

5 教學思考

本例教學啟示我們，為了培養學生的問題探究能力，應重視以下幾點：

5.1 要重視培養學生挖掘隱性條件的能力

許多試題除了明白表達的顯性條件外，往往還含有深藏于字面之下圖形之中含而不露的隱性條件。如何挖掘出這些隱性條件，往往成為解決這類問題的關鍵。為此，我們不僅要重視培養學生掌握扎實的基礎知識。還要重視培養學生學以致用的應用意識和豐富的想象能力、聯想能力、猜想能力、推理能力和幾何直觀能力等。

5.2 要讓學生經歷探究的過程

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提到：課程內容要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果。也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。在輔導學生處理本題時。我們采用了引導而不是簡單傳授的方法，讓學生經歷結論的獲得過程，教師盡量“不憤不啟不悱不發”，引領學生“絕知此事要躬行”。

5.3 要重視培養學生深入思考某一問題的能力

深入思考某一問題。才能徹底“消滅”這一問題。這種經歷經久難忘，并會最終形成一種強大的能力，“輻射四方”。看似浪費時間，其實節省時間。它為后續學習掃清了障礙，化負擔為動力，使學生輕松上陣。蟾蠍行路，越積越重：夏季流冰，漸行漸輕。

5.4 要重視現代信息技術手段在教學中的應用

本例正是利用了幾何畫板提供的直觀和便利，動態地展現了數據隨圖形變化的過程，使學生能夠清楚地看見事件發展的全貌，從而激發探究的欲望，這是傳統教學手段很難做到的。