聯想衍生 反思升華

何良

一道數學題的解法可能有多種。而且其中的某幾個解法之間還存在著某種關聯。從解題切入的角度看。并不是這幾個解法均能同時想到。而往往是最先想到其中的一種。然后由此衍生出其他解法。下面就一道考題，分析其解題切入，解法衍生，反思升華。供教學參考。

1 考題呈現

2 聯想衍生

2.1 聯想

這是2019年無錫市中考數學填空壓軸題。它是在靜態的等腰三角形與動態的正方形基礎上架構起來的，并由此派生出待求面積最大值的三角形。那么如何求解這道考題呢？

如圖2的“內弦圖”模型。也稱“一線三直角”模型。在幾何畫板中，以DE為直徑作圓，并在該圓上任取一點C。則△DEG是直角三角形。將△DEG繞正方形CDEF的中心O逆時針旋轉90°。即得△CDH。拖動點G。當Rt△DEG的直角邊EG與定角∠ABC的邊BA垂直時，即為圖2.那么拖動點G，使Rt△DEG另一條直角邊DG與BA垂直。對解題是否有幫助呢？

類似地，拖動點G，使Rt△DEG直角邊DG與∠ABC的另一邊BC垂直。問題也可獲得解決。

在解法2中，由于待求面積最大值的△BDE與正方形CDEF是共邊的，通過建立“手拉手”模型，使問題獲得解決那么對于△BDC來說，雖然它與待求的結論沒有直接關系，但與正方形CDEF也是共邊的，倘若建立“手拉手”模型（如圖7），還能使問題獲解嗎？在圖7中，當連接CP時（如圖8），則△DCP的面積等于△BDE的面積。這個面積關系有助于求解△BDE的面積的最大值嗎？

3 反思升華

以上7種解法的生成可分為兩條線。由解法1衍生出解法3，4，5，由解法2衍生出解法6，并進一步衍生出解法7.顯然，解法1、2是破門之法。它們分別涉及三角形的面積公式、“弦圖”、“手拉手”等模型（解法7所應用的與兩正方形相關的面積等量關系可稱之為“等積”模型）。可見，模型在解題的切人中起到了關鍵作用。這給我們的啟示是在教學中應多注意解題之后的總結反思，如反思解決問題的切人模型、結論、變式、問題之間的關聯。經常這樣做有助于學生思維靈活性的培養。特別是對發展學生的模型思想和應用意識，以及學習數學興趣的激發等方面均有裨益。

4 一點建議

在所給的系列推廣中，推廣2中的結論（2）的證明是有難度的。也有意義，它是受前文考題的解法1的“一線三直角”特殊思想的啟發。在射線BH上構造了“一線三等角”。由于問題的一般化。其證明中涉及了字母運算，這對學生的運算能力提出了較高要求，其證明又是分β<90°，β>90°兩種情形進行的，而初中階段僅探討了銳角三角函數，沒有探討過sin（180°-β）=sinβ，tan（180°-β）=-tanβ等知識，故而對于β>90°情形，教學中，建議老師們只需探討特殊的鈍角情形，如β=120°，135°，150°，或給出鈍角β的補角的某三角函數值，當然也可將其作為第二課堂的學習素材，或在推廣2，3的框架下，編擬一些具有一定層次的分步題，引導學生循序漸進地思考，以此提升學生的思維的廣度和深度。