教你讀懂?dāng)?shù)學(xué)建模問(wèn)題
——高考中的概率分布試題例析

祝維男

說(shuō)起概率分布的應(yīng)用，同學(xué)們很快就聯(lián)想到我們的生活實(shí)際、科學(xué)技術(shù)等，它也成為了高考命題中數(shù)學(xué)模型的重要載體.下面一起來(lái)看看近幾年高考中概率分布的典型問(wèn)題，探究分析模型特點(diǎn)，總結(jié)命題規(guī)律，從而提升數(shù)學(xué)建模能力.

1．源自生活實(shí)際的精細(xì)模型

例1 （2017 年全國(guó)Ⅲ卷第18 題）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4 元，售價(jià)每瓶6 元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2 元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500 瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20 25， )，需求量為300 瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200 瓶，為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得右面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)天數(shù) 2 16 36 25 7 4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元）．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y 的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

分析 （1）根據(jù)題意，列出六月份這種酸奶一天的需求量X 的可能取值，計(jì)算出得分X 所對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X 的分布列為；

X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4

模型解讀

日常生活中的“酸奶銷(xiāo)售”大家都很熟悉，模型中的關(guān)鍵條件是“酸奶的不同標(biāo)價(jià)”和“氣溫變化對(duì)酸奶需求量的影響”．解題時(shí)要圍繞進(jìn)貨量n進(jìn)行分類(lèi)討論．

2．源自科學(xué)技術(shù)的精細(xì)模型

例2 （2019 年全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得?1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得?1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

（1）求X 的分布列；

（2） 若 甲 藥、 乙 藥 在 試 驗(yàn) 開(kāi) 始 時(shí) 都 賦 予4 分，

表示“甲藥的累計(jì)得分為i 時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則其中a P X= =?( 1)，b P X= =( 0)，c P X= =( 1).假設(shè)α =0.5，β =0.8．

（i i）求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

模型解讀

你是不是覺(jué)得自己在做閱讀理解題，讀完一遍不知道題目說(shuō)的是啥？那就對(duì)了，就是為了考驗(yàn)?zāi)銈兊拈喿x理解能力和耐力!本題以藥物的試驗(yàn)為模型：第一部分詳細(xì)介紹了藥物試驗(yàn)的實(shí)施方案，第二部分是將試驗(yàn)實(shí)施方案抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的再描述，第三部分經(jīng)過(guò)層層提問(wèn)，促進(jìn)對(duì)模型內(nèi)部關(guān)系的理解．

分析 （1）結(jié)合題目條件寫(xiě)出X 所有可能的取值，計(jì)算出得分X 所對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X 的分布列為

?

（2）（i） 將α， β 代 入（1） 中 得a b c, , 的 值， 所 以變形后結(jié)合等比數(shù)列的定義得證；（ii）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)p8和p0的值，采用迭加的方法求得p1；繼續(xù)利用迭加的方法可求出p4為.

3. 源自組合數(shù)學(xué)的精細(xì)模型

例3 （2019 年江蘇卷第23 題）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，設(shè)點(diǎn)集An=從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離．

（1）當(dāng)n=1 時(shí)，求X 的概率分布；

分析

（1）當(dāng)n=1 時(shí)，M1中的點(diǎn)的分布如圖1 所示;首先確定隨機(jī)變量X 可能的取值，然

后計(jì)算出相應(yīng)的概率值即可確定分布列為

X 1 2 2 5 P 7 2 4 2 ；15 15 15 15

圖1

（2）為避繁就簡(jiǎn)，可以考慮對(duì)立事件的問(wèn)題先求解 P X n( > )的值，設(shè)A（a,b）和B c d( )， 是從Mn中取出的兩個(gè)點(diǎn)，由條件中的點(diǎn)集，分b d= ；b=0，d =1；b=0，d =2；b d= =1, 2 四種情況確定滿(mǎn)足X n> 的X 所有可能的取值，再求解相應(yīng)的概率值得結(jié)果.

模型解讀

【歸納提升】

以上幾類(lèi)模型的概率分布試題，背景新穎，乍看往往不知道如何下手.因此同學(xué)們要注意培養(yǎng)閱讀理解能力以及提出問(wèn)題、獲取信息、處理數(shù)據(jù)的能力.

小試牛刀

“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP 包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類(lèi)，且這兩類(lèi)學(xué)習(xí)互不影響．已知積分規(guī)則如下：每閱讀一篇文章積1 分，每日上限積5 分；觀看視頻累計(jì)3 分鐘積2 分，每日上限積6分．經(jīng)過(guò)抽樣統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1 所示，視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2 所示．

表1

表2

（1）現(xiàn)隨機(jī)抽取1 人了解學(xué)習(xí)情況，求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9 分的概率；

（2）現(xiàn)隨機(jī)抽取3 人了解學(xué)習(xí)情況，設(shè)積分不低于9 分的人數(shù)為X，求X 的概率分布及數(shù)學(xué)期望．