舉一反三，尋找最優解法
——直線與圓錐曲線的位置關系篇

王思儉

例1 （2019 年全國Ⅰ卷改編）已知曲線C x y:2=4 ，D 為直線y=?1 上的動點，過D 作C 的兩條切線，切點分別為A，B．

（1）證明：直線AB 過定點；

（2）若以E(0,5)為圓心的圓與直線AB 相切，且切點為線段AB 的中點，求四邊形ADBE 的面積．

小A：設D t( , 1)? ，斜率不存在時，不合適，因此，設過D的切線方程為代入曲線方程得

圖1

小知識

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形叫阿基米德三角形，這里△ABD 即為阿基米德三角形．

小B：設切點為A x(1,y1)，B x(22,y )，求得的導數為于是兩條切線的斜率分別為因此兩條切線方程為聯立方程得所以因為于是直線AB 的方程為即所以直線AB 過定點F(0,1).

方法大PK

y=?1 其實是拋物線的準線，定點F(0,1)是拋物線的焦點．對于第（1）小題，小A 的方法抽象，不易辨別清楚．小C 的思路簡捷明快，為通性通法．

敲黑板

第（2）小題，小A、小B 的解題過程有問題嗎？對了，他們的答案都不全，漏掉一解. 當直線ME斜率不存在時，k=0，

t=0.

方法大PK

第（2）小題，小C 的解法是常規思路，但算的慢一些；小A和小B的解法都是通法而且簡潔明了．小B 的思路可以，

小C：當直線ME 斜率不存在時，k=0，t=0. 但四邊形面積為12. 圓心E 到直線距離等于半徑，即求得k =0 或k =±1.故所求的面積為12 或如果將看成整

變題1 已知曲線C : x2=4 y，D 為直線y=?1 上的動點，過D 作C 的兩條切線，切點分別為A，B．若以E(0, 11)為圓心的圓與直線AB 相切，且切點為線段AB 的中點，求四邊形EADB 的面積．

小A：先考慮k=0 時，四邊形面積為24. 當k ≠0 時，由圓的切線性質得體就不煩瑣．，解得k =±2，仿照上述方法求得，且點E，D 到直線AB 的距離均為，四邊形面積為.故所求的面積為24 或

變題2 已知曲線C : x2=4 y，D 為直線y=?1 上的動點，過D 作C 的兩條切線，切點分別為A，B．當D 點變動時，求△ABD 面積的最小值．

小B：先求出 AB k= +4(1 )2，D k(2 , 1)? ，點D到直線AB的距離為，于是△ABD面積為

，因此當k=0 時，面積最小，最小值為4.

敲黑板

關鍵求出點D的坐標，當然也可以用D 的橫坐標表示面積．

敲黑板

小C 分兩種情況討論，利用無關思想得出結論！

思考：在原題的條件下，以AB為直徑的圓M 是否過定點？ 結論是：圓M 不過定點．（證明過程請同學們自行探索）

思考

變題4 的逆命題成立嗎？結論是成立的．

你做以上題目是不是運算比較慢？檢查自己有沒有以下問題哦！

1.概念公式混淆不清．例如焦點與準線，橢圓方程與雙曲線方程；

2.方法選擇不當. 如設點坐標（是代數式、還是三角式），還是設直線方程（是y=kx+b，還是x=my+t）；

3.運算能力欠缺．如方程化簡頻頻出錯（漏項、漏系數等），代數式中字母混淆，丟三落四；

4. 心理素質差，不能靜心．如字母稍微多一點、運算步驟稍微長一點，容易煩躁不安.