關于二面角的非正式會談

張 俊

因為參加學校活動，代舒、紀和兩位同學錯過了下午的數學習題課“用幾何法求二面角的平面角”，數學老師利用晚自修時間幫他倆補習．

師：二面角是空間角，它的大小可以用它的平面角來度量，因此求二面角的大小也就是求二面角的平面角的大小.一般地，我們約定二面角的大小范圍是

思考

什么是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角就叫做二面角的平面角．

例1 （蘇教版《必修2》習題）如圖1，在正方體中，求二面角的正切值．

求二面角的關鍵 是找到二面角的平面角.根據定義，需要在棱上找一點，并且過這個點在兩個半平面內有兩條交線的垂線.比如圖1 中，∠BCD 就是二面角的一個平面角.

圖1

代舒：在BD 上任取一點，然后過這一點分別在平面CBD 和平面中作垂線.

技能點

同學們不僅要考慮能作出平面角，也要考慮計算的方便．

紀和：理論上不錯，不過為了方便計算，最好找一個特殊點，比如BD 的中點O，根據等腰三角形三線合一的性質可知是一個平面角.

連 結 AC 交 BD 于 點 O， 連 結 OC1. 因 為

方法論

這種用定義作平面角的方法叫做“定義法”．

代舒：由于C1C ⊥平面CBD，也可以這樣作平面角：過C 作CO ⊥ BD于點O，連結那么就是一個平面角.

闖關1如圖1，前提條件不變，求二面角的大小．

方法論

這種做二面角的方法就是“三垂線法”．三垂線法是一種間接作法，關鍵是作“面的垂線”，一旦面的垂線作出，再作棱的垂線，然后連兩垂足就行了．

圖2

闖關2將正方體改為長方體，不妨將長變為原來的兩倍，其他不變，如圖2，求二面角的大小．

說明：這兩個二面角不一定是特殊角，只要求出它們的某個三角函數值即可．為了計算方便，我們統一認為正方體的棱長是1，長方體的長、寬、高分別為2，1，1．

代舒：闖關1，我還沒看出來；闖關2，用三垂線法作平面角，過C 作CO ⊥ BD于點O，連結那么就是一個平面角.利用等面積法可得計算比較麻煩，我準備先用余弦定理求出，然后求出再用等面積法求C1O ，即，還沒有具體算.

師：如果注意到圖2 中是等腰三角形，是一條腰上的高，計算會簡單一點.圖2 中，過平面中的點C1的直線C1C 恰好垂直于另一個平面BCD，這為用三垂線法創造了條件.再回頭看看闖關1，有什么想法了嗎？

代舒：圖1 中DC ⊥平面所以只要作連結DM，那么∠DMC 就是平面角了，因此

紀和：還可以用定義法，利用等腰三角形三線合一來處理.如圖1，和分別是等腰直角三角形和等邊三角形，所以作于M，連結DM，則∠DMC 就是平面角.

師：對于由共底邊的等腰三角形組成的二面角用定義法作平面角很方便.如果不是等腰的，而是關于交線的軸對稱圖形，也可以類似地作.為了看得更清楚，我們將圖1中的四棱錐從正方體中隔離出來，如圖3，求二面角的大小.

圖3

闖關3如圖4，在四棱錐C1? ABC中，已知CC1⊥平面，怎樣求二面角呢？

圖4

代舒：在圖4 中作BN ⊥ AC1于N，在平面ACC1中過N作NE AC⊥1交AC 于點E，則∠BNE 即平面角.由前面知而利用相似三角形知識可以求出NE EB, ，再用一下余弦定理就好了.

方法論

在立體幾何中，將一個不規則幾何體補成一個規則的幾何體是解決問題的常用方法，叫做“補體法”．

紀和：也可以利用三垂線法.注意到平面ACC1⊥ABC，作BE AC⊥ 于E，由線面垂直的性質定理，則BE ⊥平面ACC1，再作BN AC⊥1于N，連結NE，則∠BNE 即平面角.用這個方法很容易發現E 是AC 的中點，且△BEN 是直角三角形，因此則∠ =BNE 60°.

技能點

用余弦定理求角是通法，而發現△BEN 是直角三角形則更有利于計算．

技能點

闖關4前面幾道闖關題中，二面角的棱都是可見的，如果不可見怎么處理呢？比如圖3 中，怎樣求二面角的大小呢？

紀和：先找出交線.找交線一般是利用公理2 再找一個異于C1的交點.因為AD 與平面平行，根據線面平行的性質定理，交線應該是過C1且與AD 平行的直線.由于AD與BC 平行，所以交線也與BC 平行.因此只要在平面內過點C1作一條與BC 平行的直線即可.求二面角大小的三個步驟：

一作，找或作出二面角的平面角；二證，證明其符合定義；三求，指出某角是所求二面角的平面角并計算，一般解直角三角形或利用余弦定理求解．

三個步驟中，作出平面角最關鍵，常用的方法是定義法和三垂線法，統稱為“幾何法”，幾何法的計算量較小.還有一種空間向量法，不需要作出平面角，也能計算二面角大小.同學們要靈活運用哦！