基于具體形式下的現代數學觀念的數學解題

蔣玲

[摘? 要] 數學學習的研究離不開對數學觀念的思考，數學學習也必然是在一定的數學觀念（又稱數學素養）下的學習.在我國，考試是學生學習成果的重要檢測方式，因此“會解題”就變得格外重要，數學觀念與解題之間的關聯便成為重要的研究方向.

[關鍵詞] 數學觀念;數學素養;解題;數學思維

關于解題，波利亞與舍費爾德有著矚目的研究，但是由于他們著作中的案例都與當今數學課程內容相去甚遠，雖然在學術界影響頗大，但是對于一線的教師，特別是我國的一線教師，還不能夠很好地應用其理論，因此，我們應當結合當代數學課程、結合當代數學的教學特點、結合當代學生的特點，將這些卓越的數學教育思想與中國數學課程內容關聯起來，形成現代化的數學教學思想.

我國現代教育中的數學觀念

數學觀念是一個開放的、不斷發展的觀念，是人類社會活動的產物，因此，在“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的課程基本理念下，教育部引領一批優秀的現代數學家、數學教育家充分借鑒國際課程改革的優秀成果，提煉出適合我國學生應當重點發展的符合現代化人才培養需要的數學觀念.

《全日制義務教育數學課程標準（2011版）》第一次明確提出了“數學素養”，指出：“數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養”，在對教學活動的認識中強調：“通過有效的教學活動，引導學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維.”使學生在數學知識的學習、思維的訓練、技能的提升的過程中逐步形成良好的數學觀念，同時通過已經形成的或正在形成的數學觀念反過來對數學的學習進行調整、定向，直至向更高層次推進;也即在數學學習的過程中，數學觀念可以看作數學思維活動的產物，亦可作為思維活動的催化劑.

《普通高中數學課程標準（2017版）》更是聚焦“數學素養”，發展“三會”：會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界. 這些行為表現的本質是數學的抽象、推理、建模、運算、直觀想象、數據分析等思維品質和關鍵能力的體現，是數學素養內化于人的結果. 我國的高中生，普遍處于16-18歲的年齡，正是瘋狂接受知識、學習的黃金年齡，因此作為義務教育階段后普通高級中學主要課程的高中數學課程，其數學教學、數學學習應從以升學考試為目的向培養學生核心素養為目的轉變，從零散知識的學習向綜合運用知識解決實際問題的學習轉變，為學生的可持續發展和終身學習創造條件.

解題的現代含義

解題，是數學教育中一種最基本的活動形式，常常是教師們通過一些例題的講解，對題目進行歸類，總結其共有的解題步驟，形成解題模板，然后進行大量重復的鞏固練習，以達到學生熟練解題的目的. 不置可否，這樣的訓練對于數學知識學習的初期，能夠起到一定的作用，對解題能力的提高有一定的作用，但是這樣訓練出來的解題能力，只能是現代解題能力的初級階段（會做題）. 然而，會做題就等同于會解題了嗎？當然不是！

美籍匈牙利數學家、數學教育家波利亞稱：“掌握數學就意味著善于解題.”這里的解題不是說我們能夠解出一道中考題或者一道高考題的答案，而是在看到一個數學問題時，能夠通過一系列的思維活動和運算過程，最終得出數學問題的答案，因而，解題就是尋找數學題的解的過程，它包含的不僅僅是題目的答案，更多的是在尋求答案的過程中涉及的思維活動以及所用的數學方法. 因此數學解題作為一種有意義的學習過程，既包含著新舊知識的同化和順應，又有新舊解題策略的同化和順應，解題就是要在所有新舊知識之間建構起非人為的和實質性聯系的過程. 數學家的解題往往是發現與創造的過程，而對于初等教育階段的學生而言，解題是學生體驗數學知識的再發現與再創造的過程.

數學觀念在解題中的具體表達形式

數學觀念的具體表現形式是怎樣的？這里借鑒張乃達先生在《數學思維教育學》中的說法：“整體意識、抽象意識、化歸意識、推理意識、數學美的意識可以看作是數學觀念的具體表現形式.”

（一）整體意識

所謂整體意識指從全局上考慮問題的習慣. 合理運用整體意識解題，可以使學生在探明思路時優化方法，在拓展思路中力求獨創，從而培養學生的思維靈活性、廣泛性與深刻性.

例題1 橢圓+=1上有兩點P，Q，O是坐標原點，若OP，OQ的斜率之積為-，求證：

分析：充分利用（cosα）2+（sinα）2=1的整體特征將P，Q點的坐標用參數設出P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ），便能夠得出定值. 通過此例可以看出，整體觀念在解題中的運用離不開聯想和構造，這對于培養學生的創造性思維是大有裨益的.

（二）抽象意識

抽象意識是在學習數學的過程中形成的一種思維習慣. 它包括了能有意識地區分復雜事物與現象的主要因素與次要因素、本質現象與表面現象，能抓住本質去解決問題.

于是得到f（x）在x=x0處的導數等于0.在此題的解答過程中，我們不僅要學習應用以前所形成的數學知識，還應當在過程中學習形成這些知識的抽象概括方法，學會如何在復雜的關系運算中揚棄一些非本質的屬性，抽象出本質的特征，通過這樣的探究分析訓練，便可以在學習活動中逐步提高抽象概括的能力.

（三）化歸意識

化歸意識指解決問題的過程中有意識地對問題進行轉化，使之變為已經解決或易于解決的問題;它還意味著用聯系、發展、運動變化的眼光來觀察問題、認識問題.

例題3 已知實數x1，x2，y1，y2滿足：x+y=1，x+y=2，x1x2+y1y2=，則+的最大值為_____.

分析：結合所學相關圓、向量的相關知識，認識到+的幾何意義為A（x1，y1），B（x2，y2）兩點到直線x+y-1=0的距離d1與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值.將代數上的最值問題求解轉換為幾何中的最值問題求解，不僅形象直觀，使問題更簡單，更準確，而且充分地體現了解題的本質：建立新舊知識的橋梁，使問題中各種概念及概念之間的相互關系具體明確，感受數與形的有效結合.

（四）推理意識

推理意識指推理或講理的自覺意識，是數學的嚴密邏輯性的反映.

例題4 已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a，b∈R都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，an=（n∈N+），求證：數列{an}是等比數列.

分析：在這里數列{an}的通項公式未知，因此，想要用定義法證明就需要先求解出其通項公式，而f（x）又是一個抽象函數，其解析式也不易于求解. 這里我們采用歐拉的歸納法解決. 設a≠0，由a，b的任意性，我們觀察f（a2），f（a3），f（a4），…，歸納猜想f（an）=nan-1f（a）（n∈N+），下面用數學歸納法證明，

算出，即可利用等比數列的定義證明.在此題的解答過程中，應用到由特殊到一般的思想，具有由具體到抽象的認識功能，擁有理性認識的特點，其步驟可以看作是歸納、演繹法的結合，對于數學理性思維的形成有著重要的作用.

（五）數學美的意識

數學美是較為抽象的科學美，徐利治先生在《數學方法論選講中》首次提出：數學美的本質是數學關系結構系統與作為審美主體的人的意向的融合. 對于數學美的意識的認識及應用，會結合多方面的數學觀念，是一種綜合性意識的體現，因此也進一步驗證了數學美作為一種高級數學意識的觀點.

例題5 已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點，設x1，x2是的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析：對于此題的解答，學生很容易萌發出“正推”和“逆推”兩種對等的數學觀念，我們從兩種觀念分別出發，探討在解題過程中所隱含的數學思維方法. 在“逆推”的過程中，首先思考，要證明：x1+x2<2成立，我們應當如何入手.由結論出發，逐步分析，簡化解題的思維過程，將結論中不等式的證明等價于新構造出來的不等式的證明，由“簡單”的結論推導出“復雜”的不等式. 再結合分析，回歸題目，證出結論. 接著從“正推”的思路來解決這一題目.

帶來的啟示

在中學課程的學習中，數學一直扮演著重要的角色，而它又以題量繁多且復雜成為眾多學生的苦惱，如何教會學生解題必然是每一位教師最關心的問題，這里我們要清楚中學數學培養學生的基本數學思維，即數學觀念與意識. 而“數學觀念與意識”的培養是一個循序漸進的過程，在此過程中，教師首先應當樹立正確的數學觀念，并以此來指導教學工作，避免出現教師一切的數學教學活動都圍繞“高考指揮棒”轉， 大搞“題海戰術”將升學率作為數學教學評價的唯一標準，而是應當秉承數學素質教育的基本要求，加強數學觀念的教育，以此培養良好的數學觀念. 其次對于學生而言，大多數學生在將來未必能夠用上較為高深的數學知識，但是數學思想方法卻有著普遍的意義，不僅能夠應用于數學研究，也可以用于人類實踐活動的各個方面，因此作為數學思想方法核心結構的數學觀念就尤為重要. 具有良好的數學觀念不僅能夠幫助我們很好地面對目前的學科學習的檢測，而且在未來的科技與經濟發展中，也起著舉足輕重的作用.