從構圓求線段最值的教學談初中生的課堂學習

張偉

【摘 要】本文對于在什么情況可以構造圓去解決一些最值問題，談談初中數學課堂上，教師能做些什么來提高初中生的數學學習能力和水平。

【關鍵詞】構造圓;最值;課堂

初中階段，我們會遇到很多線段求最值的問題，而其中有一些線段的最值問題可以通過構造圓來解決，這類問題的解決不僅可以提高學生對圓的基本性質的認知和分析問題解決問題的能力，又可以大幅提高學生的思維水平、探究能力和學習興趣。尤其對于面臨中考的初三學生，能夠對于構造圓有個系統性的認識。但是我們在教學中會發現這種類型的問題已經講過很多次了，學生還是錯誤率很高，那么這是怎么回事呢？

一、錯因分析

（一）對于圓的概念不能清晰掌握

比如在做這樣一道題時：在△ABC中，AB=3，AC=3，當∠B最大時，BC的長是.學生甲認為，三角形不固定，無法畫出圖形幫助解題。而學生乙則說，線段AC、AB是定值，則可認為C點的運動軌跡是以A為圓心，AC為半徑的圓，則可知當∠B最大時，BC與圓相切，則求出答案是6。這個就是沒有想到我們講圓的運動定義，雖然圖形不固定，但軌跡是確定的，我們將看似不動的線段轉化成繞定點旋轉的線段，從而能構造圓來解決問題。

（二）對于圓的一個基本結論沒有理解

有這樣一個結論：圓內（外）一點到圓上各點的線段中，過圓心的線段取得最值。

比如做這樣一道題時：如圖在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是.

學生丙說，我發現了MA′=MA=MD，也就知道了點A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，可是這又跟A′C長度的最小值有什么聯系呢？而學生丁就快速地說出了上面的一個結論，他說通過結論知當M、A′、C三點共線時，得出A′的位置，進而利用銳角三角函數關系求出A′C的長即可.學生丙又問，為什么我總是不能記得這個結論呢？學生丁則很意外，說這個就是用兩邊之和大于第三邊或者說兩點之間線段最短得到的。

為什么學生的回答有很大差異？為什么這種有難度的題目有些學生能很快掌握，有些學生講了很多次都不理解呢？筆者認為主要是在數學課堂上教師的教與學生的學并不能有效結合起來。

二、課堂教學

（一）注重概念的理解和分析

數學概念的教學不是單純的給出定義，直接背誦，而是要對數學概念進行剖析，讓學生理解。李士琦在《數學教育心理》中指出，學習一個數學概念、原理、法則，如果能夠在心理上組織起適當的有效地認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。而數學的理解，既是對數學對象的理解，也是從數學的角度去理解現實。而我們在讓學生理解圓的定義的時候，它包含兩種：一是運動定義，二是集合定義，兩者相輔相成，缺一不可。在講解運動定義時，可以教師用一段繩長做定長，粉筆做定點進行演示，也可讓一位同學綁住一根繩子做定點，另一位同學拉繩子繞走一圈進行演示。再將演示抽象成數學符號語言的描述，并能夠與演示對應起來，這樣我們就知道了圓的概念是從哪里來的。當加入一位同學用同樣的繩長繞走一圈后，我們會發現軌跡相同，兩位同學抽象成的點在同一個圓上，于是學生能自己總結出圓的集合定義。這樣，我們就能從點的運動知道軌跡是圓，從軌跡是圓知道點的運動是什么，從感性認識上升到了理性認識。學生在積極主動的過程中理解了圓的概念，就可以知道概念的用途了。那么在讀完剛才的第一個題目，就能夠感受定長的線段實際上可以看成是運動的線段，知道軌跡是一個圓了。

（二）注重結論運用時的來龍去脈

我們對于數學的一些結論，在課堂教學中，要注意承接性和連續性，要說清楚結論的來龍去脈，因為學生對數學的理解，尤其是對幾何的理解是非線性的，反反復復建構組織的過程。如前面的一點與圓上一點之間的距離大小問題，本質上其實就是兩點之間線段最短的這個基本原理。而在初一講這個基本原理時，需要讓學生動手計算或操作，從而從實際轉化成理論，但在初三理解這個結論時，需要讓學生將知識點遷移過來，讓學生有了原來如此的感受，才能深刻的理解結論，才能夠應用起來。只有重視學生的原有知識體系和脈絡，才能讓學生能逐步深入的理解數學。

總之，德國教育家第斯多惠說：“一個壞教師給學生奉獻真理，一個好教師則教學生發現真理?！薄墩n程標準（2011版）》指出：在日常教學活動中，教師應努力挖掘教學內容中可能蘊涵的與知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個目標有關的教育價值，通過長期的教學過程，逐漸實現課程的整體目標。而我們也需要通過系列構造圓的題目來積累數學方法、數學思維方式，來提高學生的問題解決能力。當學生的頭腦中儲存了合理、清晰的數學知識結構體系，就能在解決問題時能快速地將問題與相關知識形成聯系，通過選擇解題方法優化解題方案。

參考文獻：

[1]鄧文忠.利用圓的一個結論求一類線段的最值[J].中學數學雜志，2015⑷.

[2]張春光.中學生數學概念認知理解過程研究[D].濟南：山東師范大學，2011.